重难点突破05 立体几何中最值、范围问题-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破05 立体几何中最值、范围问题 一．选择题（共5小题） 1．已知二面角的平面角为，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 2．在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为　　 A． B． C． D． 3．在如图所示的几何体中，底面是边长为2的正方形，，，，均与底面垂直，且，点，分别为线段，的中点，则下列说法错误的是　　 A．直线与平面平行 B．三棱锥的外接球的表面积是 C．点到平面的距离为 D．若点在线段上运动，则异面直线和所成角的取值范围是 4．在正方体中，棱长为2，平面经过点，且满足直线与平面所成角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．在长方体中，，，是的中点，点在线段上（包含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．解答题（共10小题） 6．如图4，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点． （1）证明：； （2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 7．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为． （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 8．在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，． （1）若为的中点，试确定点的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面与底面所成锐二面角的正切值； （3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 9．如图，在等腰梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的取值范围． 10．如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 11．如图，在三棱柱与四棱锥的组合体中，已知，四边形是菱形，，，，． （1）求证：平面． （2）点为直线上的动点，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 12．边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且． （1）证明：平面平面； （2）设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围． 13．如图，在三棱锥中，侧面是锐角三角形，，平面平面． （1）求证：； （2）若，，点在棱（异于端点）上，当三棱锥体积最大时，若二面角大于，求线段长的取值范围． 14．如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）． （1）若为的中点，证明：． （2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 15．如图，在三棱柱中，平面平面，为等边三角形，，，，分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破05 立体几何中最值、范围问题 一．选择题（共5小题） 1．已知二面角的平面角为，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：作，垂足为，连接， ，即，，，平面， 平面，平面， ，又，故平面，平面， 为在内的射影，则为与平面所成角，即， ，， 为二面角的平面角，即， ， 在中，由正弦定理有： ， ， ，又， ，，又， ，即，． 故选：． 2．在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，连接，则， 因为在正方体中，平面，平面， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 所以即为与平面所成角． 设，， 因为， 所以， 因为，所以． 故选：． 3．在如图所示的几何体中，底面是边长为2的正方形，，，，均与底面垂直，且，点，分别为线段，的中点，则下列说法错误的是　　 A．直线与平面平行 B．三棱锥的外接球的表面积是 C．点到平面的距离为 D．若点在线段上运动，则异面直线和所成角的取值范围是 【解答】解：如图建立空间直角坐标系，可得，0，，，2，，，2，，，0，， ，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，， 对于，2，， 设平面的法向量，，， ，2，，，2，， 所以， 令，得，， 所以，1，， 所以，2，，1，， 所以直线与平面平行，选项正确； 对于：三棱锥的外接球的球心为，，， 则， 所以， 解得，， ， 所以三棱锥的外接球的体积为，选项正