重难点突破04 立体几何表面积与体积-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破04 立体几何表面积与体积 1．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有一个“鳖臑”， 底面，，且，，则该四面体的体积为　　 A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为　　 A． B． C． D． 3．四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，连接交的延长线于点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则　　 A． B． C． D． 二．多选题（共1小题） 4．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，，，则　　 A．当时， B．当，时，点到平面的距离为 C．当时，平面 D．当时，三棱锥的体积恒为 三．填空题（共1小题） 5．四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则　　． 四．解答题（共15小题） 6．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 7．如图，在四棱锥中，，，，平面平面． （1）求证：平面； （2）设，，求三棱锥的体积． 8．如图，在正四棱锥中，，分别为，的中点，． （1）证明：，，，四点共面． （2）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 9．《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称．如图所示，是长方体． （1）求证：三棱锥为鳖臑； （2）若，，，求三棱锥的表面积． 10．如图1，在中，，分别为，的中点；为的中点，，，将沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2，点是线段上的一点（不包含端点）． （1）求证：； （2）若直线和平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 11．如图，在棱长为1的正方体中，点平面，且满足． （1）利用向量基本定理求的值； （2）求三棱锥的体积． 12．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 13．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点． （1）求证：面面； （2）若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积． 14．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义，为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动．在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内． （1）求该圆柱的侧面积的最大值； （2）求该圆柱的体积的最大值． 15．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，． （1）已知点为上一点，且，求证：与平面不平行； （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积． 16．已知四棱锥，底面是菱形，，底面，且，点，分别是棱和的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积． 17．如图，在正四棱锥中，，是棱的中点； （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 18．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别是、的中点． （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的表面积． 19．如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，，，，． （1）若与相似，三棱锥的外接球的球心恰为中点，求与平面所成角的正弦值； （2）求四棱锥体积的最大值． 20．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积； （2）求该蒙古包的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破04 立体几何表面积与体积 一．选择题（共3小题） 1．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有一个“鳖臑”， 底面，，且，，则该四面体的体积为　　 A．1 B．2 C．4 D．8 【解答】解：依题意有，底面，，且，， 则 ． 所以该四面体体积为2． 故选：． 2．已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图示圆柱中，底面半径为，底面直径为，母线长为． 过圆柱底面圆周上一点作