重难点突破07 立体几何中求角度、线段、距离-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破07 立体几何中求角度、线段、距离 1．四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面． （1）证明：； （2）若，且与平面成角为，点在棱上，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为． （1）求证：平面． （2）若，求二面角的余弦值． 3．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点． （1）证明：； （2）若，求点到平面的距离． 4．如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：． （2）设，若到平面的距离为，求． 5．如图，正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 6．如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点． （1）求此三棱柱的表面积； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）求与平面所成角的大小． 7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 8．如图正方体中，棱长为，、分别为、的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小． 9．如图，正方体的棱长为2． （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 10．如图，在菱形中，，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到点的位置，． （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 11．如图，在三棱柱中，△为等边三角形，四边形为菱形，，，． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 12．如图，某多面体的底面为正方形，，，，，． （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的平面角的正弦值． 13．如图，在四棱锥—中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）在侧棱内找一点，使面，并求出点到和的距离． 14．如图，在长方体中，，，点在上，且． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 15．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图．将沿折起到位置，使得平面平面（如图． （1）求二面角的余弦值； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点是中点． （1）证明：面； （2）若面面，求二面角的余弦值． 17．如图，在四棱锥中，，，，，，．是棱上一点，平面． （1）求证：为的中点； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积． 条件①：点到平面的距离为； 条件②：直线与平面所成的角为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，，的中点分别为，，，且． （1）证明：平面平面． （2）若为的中点，求点到平面的距离． 19．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，二面角的大小为，是中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 20．如图所示，多面体中，底面为正方形，四边形为矩形，且，，． （Ⅰ）求平面与平面所成二面角大小． （Ⅱ）点在线段上，当平面时，求与平面所成的角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破07 立体几何中求角度、线段、距离 1．四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面． （1）证明：； （2）若，且与平面成角为，点在棱上，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：因为四边形为菱形， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故． （2）设，则为、的中点， 又因为， 所以， 又因为平面，平面， 所以， 因为，、平面， 所以平面， 所以为与平面所成角，故， 由于四边形为边长为，的菱形， 所以，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系： 则，，，1，，，，，，0，， 由， 得，且， 设平面的法向量为， 则， 取，则，， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为． （1）求证：平面． （2）若，求二面角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：设，连接， 由于，分别是，的中点， 所以， 由于平面，平面， 所以平面． （2）设是的中点，连接，， 则， 所以平面， 由于，平面， 所以，， 由于，，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，则， 以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系： 平面的一个法向量为， ，， 设平面的法向量