6.2 专题能力提升 向量运算在三角形中的应用-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.2 专题提升　向量运算在三角形中的应用 知识点归纳 向量运算在三角形中的应用主要体现在以下三个方面： (1)判断三角形的形状； (2)求三角形的面积之比； (3)判断三角形的四心问题. 题型演练 题型一　判断三角形的形状 例1 (1)已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 (2)在△ABC中，＋＝0，·＝，则△ABC为(　　) A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形 C.等边三角形 D.等腰非等边三角形 变式1 若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 题型二　求三角形的面积之比 例2 已知在△ABC的平面内有一点P，满足＋＋＝，求△PBC与△ABC的面积之比. 变式2 已知P是△ABC内一点，＝2(＋)，记△PBC的面积为S1，△ABC的面积为S2，求的值. 题型三　判断三角形的四心问题 例3 (1)点O是△ABC所在平面上一点，且满足＋＋＝0，则点O为△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2)平面内△ABC及一点O满足＝，＝，则点O是△ABC的(　　) A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 (3)已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则点O一定为△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 变式3 (1)在△ABC内使AP2＋BP2＋CP2的值最小的点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 （2）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2．（2021下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·广东广州·高一统考期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．（2022下·山东济宁·高一统考期中）已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 5．（2021下·四川自贡·高一统考期末）已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．（2021下·云南大理·高一云南省下关第一中学校考期中）在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 7．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在中，若，则的形状为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 8．（2023下·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 二、多选题 9．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点是的重心 C．若，则点的轨迹必过的内心 D．若，且，则的面积是面积的 10．（2022下·高一课时练习）已知点是的重心，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2023·高一课时练习）在中，是的重心，，则 ． 12．（2023·高一单元测试）在中，，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则 . 13．（2022下·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知的三个顶点都在圆上，，且，则圆的面积为 . 14．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）在中，若，则的形状是 . 15．（2021·高一课时练习）在中，，且，则的形状是 ． B数学素养落实 一、单选题 1．（2022·全国·高一专题练习）设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·广东佛山·高一校考期中）若非零向量与满足，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．（2023下·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）已知中，，，