安徽省蚌埠市怀远县怀远禹泽学校、固镇县汉兴学校2023-2024学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

汉兴学校2023-2024学年第一学期高二年级第三次月考 数学试题 时间:120分钟 满分:150 一、单选题 1.经过点的直线的斜率为( ) A. B. C. D. 2.抛物线的准线方程为( ) A. B. C. D. 3.与直线平行且过点的直线方程是( ) A. B. C. D. 4.圆与圆的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 5.以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) A. B. C. D. 6.已知点,则下列向量可作为平面的一个法向量的是( ) A. B. C. D. 7.如图,在正四面体中,,分别为,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.已知椭圆方程为,其右焦点为,过点的直线交椭圆与,两点.若的中点坐标为,则椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.如图所示,棱长为3的正方体中, E, F分别在,上, 且 则( ) A. B. C. D.与是异面直线 10.若方程所表示的曲线为,则( ) A.曲线可能是圆 B.若,则为椭圆 C.若为椭圆,且焦点在轴上,则 D.若为双曲线,且焦点在轴上,则 11.已知F1,F2分别是椭圆C:的左,右焦点,P为椭圆C上异于长轴端点的动点,则下列结论正确的是( ) A.的周长为10 B.面积的最大值为 C.椭圆C的焦距为6 D.椭圆C的离心率为 12.圆和圆的交点为,,则有( ) A.公共弦所在直线方程为 B.线段中垂线方程为 C.公共弦的长为 D.为圆上一动点,则到直线距离的最大值为 三、填空题 13.双曲线的一条渐近线方程为,则正实数 . 14.已知圆,圆,若圆与圆相外切,则 . 15.已知抛物线,过焦点的直线与抛物线交于、两点,若,则此直线的斜率= . 16.如图,在棱长为4的正方体中, E为棱BC的中点,P是底面ABCD内的一点(包含边界),且,则线段的长度的取值范围是 . 四、解答题 17.已知直线和直线的交点为 (1)求过点且与直线平行的直线方程; (2)若点到直线距离为,求的值. 18.在如图所示的六面体中,矩形平面,,,,. (1)设为的中点,证明:平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值. 19.已知直线与圆交于两点,点在圆上运动. (1)当时,求; (2)已知点,求的中点的轨迹方程. 20.已知椭圆:的一个顶点为,左焦点为. (1)求椭圆的方程; (2)过点作倾斜角为的直线,直线与椭圆相交于,两点,求的面积. 21.如图,在直棱柱中,,,,是的中点,点在上. (1)求证:; (2)求与所成角的余弦值; (3)若,求点,之间的距离. 22.已知动点到两定点,的距离和为6,记动点的轨迹为曲线C. (1)求曲线的方程; (2)直线与曲线交于,两点,在轴是否存在点(若记直线、的斜率分别为,)使得为定值,若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.B 【分析】根据两点的坐标计算斜率即可求解. 【详解】经过点的直线的斜率为. 故选:B. 2.C 【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程,从而得解. 【详解】因为抛物线可化为, 所以其准线方程为. 故选:C. 3.C 【分析】设出直线方程,利用待定系数法求解即得. 【详解】设与直线平行的直线方程为, 于是,解得, 所以所求方程为. 故选:C 4.B 【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆的圆心,半径,圆的圆心,半径 所以,则,故两圆相交. 故选:B. 5.D 【分析】先将双曲线化为标准方程,进而可求出双曲线的焦点和顶点坐标,,进而可得椭圆的焦点和顶点,即可得解. 【详解】双曲线化为标准方程得, 焦点坐标为,顶点为, 则所求椭圆的焦点在轴上, 设所求椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为, 则,所以, 所以所求椭圆的方程为. 故选:D. 6.D 【分析】设平面的一个法向量为,利用列方程求解即可. 【详解】由知, 设平面的一个法向量为,所以, 取,解得,选项D符合, 另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线. 故选:D 7.D 【分析】根据向量基本定理表示向量结合向量的数量积公式计算夹角余弦值. 【详解】设正四面体棱长为1, 设,,,则,, ∴,,. ∵,分别为,的中点,,是等边三角形, ∴,,, . ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选:D. 8.C 【分析】计算,设,,代入椭圆方程相减得到,解得答案. 【详解】的中点坐标为,则, 设,,则,, 相减得到:,即,, 又,,解得,,椭圆的方程为. 故选:C. 9.AC 【分析】建立空间直角坐标系,应用空间向量判断位置关系. 【详解】如图,以为原点所在直线为轴建立空间直角坐标系, 则, 对A,,即,A正确; 对B