解析几何核心考点（四）椭圆与双曲线共焦点讲义-2024届高三数学二轮复习

2024届解析几何核心考点（四）椭圆与双曲线共焦点(学生版) 一．基础性质： 1.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有. 证明： 依题意，在中，由余弦定理得 ， 所以，即. 2.已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直． 证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为， 双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得， 则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直． 二．经典例题: 1.已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，轴，为垂足，若(为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为________. 2．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点是在第一象限的公共点，若点关于的一条渐近线的对称点为，则________． 3.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 4.设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A． B． C．3 D．2 3． 练习题目： 1.已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 2.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且的面积为.双曲线和椭圆焦点相同，且双曲线的离心率为，是椭圆与双曲线的一个公共点，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3.，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则___________. 4.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点使两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（    ） A． B．2 C． D．3 2024届解析几何核心考点（四）椭圆与双曲线共焦点(教师版) 一．基础性质： 1.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有. 证明： 依题意，在中，由余弦定理得 ， 所以，即. 2.已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直． 证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为， 双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得， 则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直． 二．经典例题: 1.已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，轴，为垂足，若(为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为________. 解析：设椭圆和双曲线的半焦距为c， 所以，即P的横坐标为，设，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得：，联立解得， 设椭圆和双曲线的离心率分别为：，由椭圆的第二定义得， 解得，由双曲线的第二定义得：， 解得，又，则，，所以， 故答案为： 2．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点是在第一象限的公共点，若点关于的一条渐近线的对称点为，则________． 解析：连接，由题意可得焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得， 所以因为点关于的一条渐近线的对称点为， 所以双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，所以，所以，所以，即，所以 所以4 故答案为：4 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（    ） B． B． C． D． 解析：设为第一象限的交点，、，则、，解得、，在中，由余弦定理得：， ∴，∴，∴，∴，∴（亦可直接用上述结论） ，即，当且仅当，即，时等号成立，此时，故选：D 4.设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 解析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设， 由椭圆和双曲线的定义可得，所以，， 设，因为，则，由勾股定理得， 即，整理得，故. 故选：A. 5.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A． B． C．3 D．2 解析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设，椭