专题12.3 超几何分布、二项分布（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题12.3 超几何分布、二项分布 【核心素养】 1.考查超几何分布，凸显数学运算、数据分析、数学建模的核心素养. 2.考查 n次独立重复试验的模型及二项分布，凸显数学抽象、数据分析、数学运算、数学建模的核心素养. 3.通过考查实际决策问题的解答，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养． 知识点一 n次独立重复试验 (1)定义 一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验． (2)公式 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)． 知识点二 二项分布 1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝pkqn－k(k＝0,1,2，…，n) 于是得到X的分布列 X 0 1 … k … n P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0 由于表中第二行恰好是二项式展开式 (q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 2.二项分布的期望、方差： 若，则. 若，则． 知识点三 超几何分布 1.在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布． X 0 1 … m P … 2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则. 常考题型剖析 题型一： 独立重复试验的概率 【典例分析】 例1-1．【多选题】（2023·全国·统考高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 例1-2.（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 【规律方法】 1独立重复试验的特点 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的. (2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 2.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． 3．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验； 4．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率． 【变式训练】 变式1-1（2015·全国·高考真题（理））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 变式1-2.（2023上·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）口袋里放有大小相同的3个红球和2个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等.定义数列：.如果为数列的前项和，那么的概率是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用二项分布计算概率 【典例分析】 例2-1.（2023下·广西玉林·高二统考期末）设随机变量，若，则p的值为 . 例2-2.（2019·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均