2024届解析几何核心考点（二）焦点三角形

2024届解析几何核心考点（二）焦点三角形(学生版) 一.基础知识：（焦点三角形主要结论） （1）. . （2）. 焦点三角形的周长为 （3）. 焦点三角形的面积为：. ①设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大. ②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； （4）. 假设焦点的内切圆半径为，则. 2． 典型例题 1.已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 3.已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ） A．9 B．3 C．4 D．8 4.已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5.已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 三．练习题目： 1.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是______. 2.已知为双曲线的两个焦点，在双曲线上，若的面积是1，则的值是__________． 3.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.如图所示，已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是__________. 2024届解析几何核心考点（二）焦点三角形(教师版) 一.基础知识：（焦点三角形主要结论） （1）. . （2）. 焦点三角形的周长为 （3）. 焦点三角形的面积为：. ①设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大. ②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； （4）. 假设焦点的内切圆半径为，则. 3． 典型例题 1.已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 解析：设椭圆右焦点为，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，所以， 则，. 由余弦定理可得， 即，即 故椭圆离心率故选：C. 2.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 解析：由题意可得，，解得，又为直径，所以四边形为矩形，所以，又，所以，即，由，得，即，所以，即．故选：C． 3.已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ） A．9 B．3 C．4 D．8 解析：由焦点三角形面积公式得，故选：B 4.已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：所以， 而，所以可得，解得，，由，得，所以该椭圆的方程为．故选：A． 5.已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 解析：又，所以，即，故E的离心率为. 故选：C. 三．练习题目： 1.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是______. 解析：椭圆C上存在点P，使等价于最大张角大于等于60°，如图， ，即，又，所以. 2.已知为双曲线的两个焦点，在双曲线上，若的面积是1，则的值是__________． 解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：，所以， 即． 所以，从而． 3.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 解析：由双曲线焦点三角形面积公式得： 所以． 故选B． 4.如图所示，已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是__________. 解析：由条件可得，，，则，，，所以在中，， 即，即，则，所以双曲线的离心率为：. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$