拓展专题04 直击圆锥曲线中的五大”弦“案（焦点弦、中点弦、分点弦、定点弦、直角弦）（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

拓展专题04直击圆锥曲线的五大“弦”案 （焦点弦、中点弦、分点弦、定点弦、直角弦） 题型1 焦点弦问题 （重点） 题型4 分点弦问题（难点） 题型2 中点弦问题（常考点） 题型5 直角弦问题（重难点） 题型3 定点弦问题（重点） 【重要方法与结论】 一、焦点弦问题求解策略 我们把经过焦点的弦称为焦点弦.对于焦点弦问题，可以用通性通法——韦达定理法，设而不求，整体求解，也可用焦半径公式简解. 1.椭圆的焦半径公式 (1)当椭圆的焦点在x轴上时，设分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的任一点，则,. 推导如下：由椭圆的第二定义，得（为点P到左准线的距离），则同理，得 (2)类似可得，当椭圆的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是椭圆上的任一点，则,. 2.双曲线的焦半径公式 (1)当双曲线的焦点在x轴上时，设分别为双曲线的左、右焦点,点是双曲线上的任一点，则,. (2)类似可得，当双曲线的焦点在y轴上时，设分别为双曲线的下、上焦点,点是双曲线上的任一点，则,. 3.抛物线焦点弦的性质 如图所示,线段AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦. 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则根据抛物线的定义有|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,故|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|. 因为MM1是梯形AA1B1B的中位线,所以|AB|=|AA1|+|BB1|=2|MM1|. 综上可得以下性质: (1)焦点弦公式：因为|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p. (2) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． (3)|AB|=2(焦点弦长与中点坐标的关系). (4)若直线AB的倾斜角为α,则|AB|=,S△AOB=. (5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2=,y1y2=-p2. (6)+为定值. 二、中点弦问题求解策略 直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型即为中点弦问题.对于这类问题，可以用通性通法——韦达定理法，设而不求，整体求解，也可用点差法简解,即设出弦的两端点，然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法. 答题模板：点差法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理） 第一步: 设直线与椭圆交点为,，AB中点,则, 第二步: 两式相减得， 第三步: 利用求出直线的斜率，线段的中点为, 化简可得. • 椭圆中点弦结论（以焦点在轴的椭圆方程为例） 如图，在椭圆中，为弦的中点，则;（证明：用点差法） 注：若焦点在轴上的椭圆，则. • 双曲线中点弦结论（以焦点在轴的双曲线为例） 如图所示，为弦的中点，则; 注：若焦点在轴上的双曲线，则. • 抛物线中点弦结论 如图，在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点， 点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为， 则. 即： 注：在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点， 点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则.即：. 三、定点弦问题求解策略 圆锥曲线中的定点弦是指一个端点是定点，另一端点为动点的弦，对于这类问题，往往设出动端点的坐标，利用韦达定理中的两根之和或两根之积直接求出动端点的横、纵坐标，简而言之，就是“设而求之”. 四、分点弦（共线向量）问题求解策略 以分点弦AB为例，此处的分点是指弦AB和弦上某点如P之间的关系可用向量式表示，其中. 对于分点弦问题，求解策略主要有: （1） 根据比例关系建立三点坐标之间的关系式，比如关于三点的横坐标的关系式，再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这个三个关系式入手解决 （2） 定比点差法：由第三点的坐标和圆锥曲线上其中一点的坐标，根据比例关系所得到的等式，表示圆锥曲线上另一点的坐标，又由于这个点也在圆锥曲线上，适合圆锥曲线方程，联立方程组加减消元即可解决. 对于某些三点共线（包括诸如直线AB过点C）问题，可利用斜率相等或平行向量知识加以解决. 五、直角弦问题求解策略 直角弦定义：直线与曲线相交于两点A、B，若存在点P，使得PAPB，由弦AB叫做相对于点P的直角弦. 直角弦有三种考法： ①.PAPB以AB为直径的圆过点P； ②APB是钝角点P在以AB为直径的圆内； ③APB是锐角点P在以AB为直径的圆外； 三、弦中的一些重要结论 1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则 (2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则 2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则(1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: (2)为双曲线的上、下焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: 3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 (2)为椭圆的上、下焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 特殊情形，对于焦点在轴上的椭圆，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 (2)为双曲线的上、下焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点， 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 特殊情形，对于焦点在轴上的双曲线，当倾斜角为时，即为双曲线的通径，通径长. 5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 轴上, (2) 焦点在 轴上, 6. 椭圆的角度式焦半径公式 设是椭圆上任意一点，为它的一个焦点，，则 注:上述公式定义为圆锥曲线上的点,为焦点 7. 双曲线的角度式焦半径公式 设 是双曲线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 与 位于 轴的同侧时取正，否则取负. 取 ，无需讨论焦点位置. 8. 抛物线的角度式焦半径公式 已知 是抛物线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 9. 定比分点的定义 若 , 则称点 为线段 的定比分点, 为点 分 的比. 一般地, 设点 , 且 , 则点 的坐标为 . 10. 弦长公式 若直线与圆雉曲线相交于两点，则弦长 11. 圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理） 设直线方程为: (特殊情况要对 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: , 把直线方程代入曲线方程, 可化为 , 设直线和曲线的两交点为 , 求根公式为 (1) 若消去 y, 得 则弦长公式为: (2) 若消去 则弦长公式为 题型一 焦点弦问题（共8小题） 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 2．（2027·山东烟台·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由抛物线，可得，即，则焦点，准线方程为. 设，已知，则：，解得， 代入抛物线方程得：， 由在第一象限，可得，即. 因为直线过和， 所以斜率：. 3．（2026高二上·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点）的的个数（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由焦半径公式结合列出等式求解即可. 【详解】椭圆的左准线方程为，设，为左焦点，为右焦点， 由椭圆的第二定义可知，得， 再由，得， 所以， 又而，所以， 结合，可得：， 又，代入上式解得：， 由椭圆的对称性可知满足条件的点有4个， 故选：C． 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量关系得到，根据椭圆的定义及线段间的关系求出、、，解法一，再利用三角知识求出的值，进而求得的值；解法二，再利用二级结论求出的值，进而求的值. 【详解】如图，由，得． 设，则，，由， 得，． 解法一， ，由，得， 整理得，得，（，舍去） 所以； 解法二， 如下图，直线过椭圆的右焦点， 交椭圆于点，， 椭圆的右准线方程为，根据椭圆的第二定义， 即有，， 设与轴的夹角为，则有， 于是有， 可得 ， ，可得， 同理可得，所以. 根据椭圆的焦半径倒数和公式得， 即， 整理得，得，（ ，舍去） 所以. 故选：A． 5．（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由点到轴的距离结合双曲线定义，得到，利用焦半径公式及可求解. 【详解】因为点到轴的距离， 所以点到两焦点的距离之和， 由焦半径公式，所以， 所以，得，又由焦点坐标可知， 所以，解得， 故选：C. 6．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可 【详解】    如图所示，设双曲线实轴长为，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故选：A 7．（多选）（25-26高三上·湖北·阶段练习）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（    ） A．以为直径的圆与直线相切 B．是钝角 C．的最小值是4 D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】选项A根据抛物线的定义结合圆的定义即可；选项B根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质即可；选项C设，由焦点弦公式可得；选项D过作，根据即可求出倾斜角. 【详解】如图，假设点位于第一象限，根据抛物线的定义可， 设中点为，点在抛物线的准线上的射影为， 所以， 则以为直径的圆与准线相切，故A正确；      因为， 所以， 又因为， 所以，所以，故B错误； 设，由焦点弦公式可得，等号成立时，所以C正确； 因为， 所以， 过作， 所以， 所以或，故直线的斜率为，故D正确. 故选：ACD 8．过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 【答案】2 【分析】设，利用焦半径公式可得，进而计算可求得. 【详解】设，因为，所以点必在双曲线右支上， 由焦半径公式，，解得，所以， 从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为， 所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，， 所以. 题型二 中点弦问题（共7小题） 9．（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法可得出的值，再利用求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 10．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 11．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】根据题意及直线垂直关系设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及对称关系求出的范围；根据弦长公式及二次函数性质求解即可. 【详解】由题意知，，则. 设直线：，，，中点. 联立，整理得. ， 因为，所以①. 所以，，所以. 因为中点在上， 则，即，所以. 又在上，则， 所以，整理得②. 将②代入①中，得，整理得，解得. . 因为在内，所以当时，取得最大值， 此时. 12．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 13．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，过点作直线． (1)是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； (2)若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1)所求直线不存在，理由如下： 如图： 因为直线与双曲线交于，两点，所以直线必有斜率. 设直线：，即. 代入双曲线方程得， 整理得：. 因为方程有2个解，所以. 设，，则. 若为线段的中点，则. 但不满足， 故所求直线不存在. (2) 【分析】（1）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据方程组有两解，确定的取值范围，再根据求出的值，结合的取值范围进行判断即可. （2）结合（1）中的结论，利用即可求的取值范围. 【详解】（1）略 （2）直线与双曲线左右两支都相交， 则方程有1正1负两根. 所以. 即直线斜率的取值范围为. 14．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. 15．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义，得到动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得抛物线的标准方程； （2）根据题意，利用“点差法”求得所求直线的斜率，进而得到所求直线方程. 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 题型三 定点弦问题（共3小题） 16.(2020·全国I卷)已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点． 【分析】（1）求出，解出，求出的方程即可； （2）联立直线和椭圆的方程求出，的坐标，求出直线的方程，判断即可． 【详解】如图示： （1）由题意，，， ，，，解得：， 故椭圆的方程是； （2）由（1）知，，设， 则直线的方程是， 联立， 由韦达定理， 代入直线的方程为得：，即，， 直线的方程是， 联立方程， 由韦达定理， 代入直线的方程为得，即，， 直线的斜率， 直线的方程是，整理得：， 故直线过定点，． 17.若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆C: 交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 【详解】设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得. 是方程的两个根，,则，，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ,， 直线MN的方程为：， 令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得： 又，.椭圆的焦点为,，即, 故当时，MN过椭圆的焦点。 18. 如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 【证明】， 设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，则，同理， 所以直线的斜率，则直线的方程为，即，所以直线恒过定点. 题型四 分点弦问题（共7小题） 19.（2026·高二·湖北·期中）已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由离心率 ，故 ，得 ， 椭圆方程可写为：， 将点 代入得 ， 解得 ，， 因此椭圆方程为，则，，， 由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为 ，设 ，由题意， 因, 由 可得 ​，即 ， 由，消去并化简得， 则①，②， 又③， 由①②③可得，则, 解得，则，所以， 所以. 20.（2026·高二·广东·阶段检测）记椭圆的左，右焦点分别为，，下顶点为，直线与相交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的半焦距为，， 由，得， 由椭圆的定义得，. 如图，由余弦定理得， 即， 化简得，即， 即，故，即得（负值舍去）. 故选：D. 21．（2026·高二·吉林长春·期末）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点、分别在双曲线的左、右两支上，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，令且，，则，且①， 由，即②， 由，即， 又C在双曲线上，则③， 由①得：，代入③并整理得：， 由①②及得：， 所以，即， 显然，则. 故选：C 22.（2026·高三·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可知，，过点且倾斜角为的直线方程为， 设， 因为，所以， 得，即 联立，得， 所以，，① ，② 由①②可得，又因为得，且， 得，， 所以双曲线的离心率. 故选：B 23．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 【答案】 【分析】过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将焦半径转化为点到准线的距离，结合向量条件与相似三角形比例关系求得|FB|，再由中点坐标性质和中位线公式计算p. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 分别过点、作准线的垂线，垂足为、， 根据抛物线定义得，， 设，则， 由得，且四点共线， 故， 因为，故， 则，所以， 由于，约去化简得，解得，即， 此时，故为线段的中点， 设准线与轴交点是，所以是的中位线， 则，即. 24．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先设点的坐标，再根据三点共线，表示坐标间的关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，，，，双曲线的渐近线方程为， 设，，由向量可知三点共线，即， 则，化简得，即， ，， 所以 （当且仅当时取等）. 故答案为： 25．（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质即可求解； （2）设动点，均在椭圆上，根据得到，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到关于的表达式，令的系数为，求出即可. 【详解】（1）已知椭圆（）的左右顶点分别为，，右焦点， 根据题意，，即，所以， 又因为，其中，， 将代入中，得，解得， 根据椭圆性质 ，可得， 椭圆 的方程为，离心率. (2)直线经过定点，理由如下： 如图所示，已知，，设动点，均在椭圆上（不同于顶点）， 直线的方程为，令，得点纵坐标，即， 直线的方程为，令，得点纵坐标，即， 已知，即， 代入坐标得，即，化简得，则有， 设直线的方程为，将直线代入椭圆方程，得，展开得， 由韦达定理可得， 同时，， 由条件，代入，，得，化简得， 由，则， 所以当时，上式恒成立， 所以直线：恒过定点.. 题型五 直角弦问题（共4小题） 26．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，由韦达定理求出中点的坐标，结合求出点的坐标，通过的单调性即可求得的取值范围． 【详解】由抛物线可知, 设直线，，，，中点， 联立得，故，， 进而， ， 因此，， 又由得，即， 即，代入化简得， 解得，因此， 故， 令，则， 代入得，该函数在上单调递增， 故当，即时，取最小值，对应， 当时，，对应， 因此的取值范围是． 27．（多选）（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 【答案】ACD 【分析】根据抛物线方程判断A，根据三角形为等腰直角三角形分类讨论求出判断B，设直线方程，利用韦达定理求三角形面积最值判断C，利用垂直关系求出判断D. 【详解】由抛物线知，，，所以抛物线准线方程为，故A正确； 若为等腰直角三角形，则或， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾，故B错误； 设，易知直线斜率不为，设直线， 由，可得，， 则 若、、共线，则三点所在直线，则， 所以面积， 当时等号成立，故C正确； 若，则，， 代入，解得或（舍去）， 所以直线，直线恒过，故D正确. 28．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 【答案】4 【详解】抛物线 是标准抛物线，，得 ，因此焦点 ，准线 ，准线与轴交点 ， 设过的直线为 ，， 联立直线与抛物线方程： ，， 由韦达定理得：，， 因为在以为直径的圆上，故 ，即 ，， 代入得： ，将 代入化简， 结合韦达定理得，即 ，即 ， 当 时，直线为，代入抛物线得， 故 ，（也可由抛物线焦点弦公式 ）. 29．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． (2)4 【分析】（1）设直线AB方程：，与抛物线的方程联立，根据韦达定理，由垂直的向量表示，可得关于的方程，求解可得的值，从而得到直线所过定点； （2）由（1）可得面积， 根据韦达定理，并结合二次函数的最值求法可得面积的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 30．（素养拓展10 圆锥曲线常考定值、定点问题02（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的右顶点，、是双曲线上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明：如图，由题得，设，，的方程为， 联立得，消去并化简得， 则，，即， 且，. 因为，所以， 即， 化简得， 解得或，且均满足. 当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点. 综上，直线过定点，且定点的坐标为． 【分析】（1）根据双曲线的性质，结合已知条件求出，进而求出双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和判别式构造方程，进而求出直线方程，证明结论． 【详解】（1）因为双曲线：的一条渐近线为：， 所以，即. 又因为右焦点到直线的距离为，解得， 由，即，得，故， 所以双曲线的方程为． （2）略 2 / 24 zxxk.com zxxk.com zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题04直击圆锥曲线的五大“弦”案 （焦点弦、中点弦、分点弦、定点弦、直角弦） 题型1 焦点弦问题 （重点） 题型4 分点弦问题（难点） 题型2 中点弦问题（常考点） 题型5 直角弦问题（重难点） 题型3 定点弦问题（重点） 【重要方法与结论】 一、焦点弦问题求解策略 我们把经过焦点的弦称为焦点弦.对于焦点弦问题，可以用通性通法——韦达定理法，设而不求，整体求解，也可用焦半径公式简解. 1.椭圆的焦半径公式 (1)当椭圆的焦点在x轴上时，设分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的任一点，则,. 推导如下：由椭圆的第二定义，得（为点P到左准线的距离），则同理，得 (2)类似可得，当椭圆的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是椭圆上的任一点，则,. 2.双曲线的焦半径公式 (1)当双曲线的焦点在x轴上时，设分别为双曲线的左、右焦点,点是双曲线上的任一点，则,. (2)类似可得，当双曲线的焦点在y轴上时，设分别为双曲线的下、上焦点,点是双曲线上的任一点，则,. 3.抛物线焦点弦的性质 如图所示,线段AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦. 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则根据抛物线的定义有|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,故|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|. 因为MM1是梯形AA1B1B的中位线,所以|AB|=|AA1|+|BB1|=2|MM1|. 综上可得以下性质: (1)焦点弦公式：因为|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p. (2) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． (3)|AB|=2(焦点弦长与中点坐标的关系). (4)若直线AB的倾斜角为α,则|AB|=,S△AOB=. (5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2=,y1y2=-p2. (6)+为定值. 二、中点弦问题求解策略 直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型即为中点弦问题.对于这类问题，可以用通性通法——韦达定理法，设而不求，整体求解，也可用点差法简解,即设出弦的两端点，然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法. 答题模板：点差法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理） 第一步: 设直线与椭圆交点为,，AB中点,则, 第二步: 两式相减得， 第三步: 利用求出直线的斜率，线段的中点为, 化简可得. • 椭圆中点弦结论（以焦点在轴的椭圆方程为例） 如图，在椭圆中，为弦的中点，则;（证明：用点差法） 注：若焦点在轴上的椭圆，则. • 双曲线中点弦结论（以焦点在轴的双曲线为例） 如图所示，为弦的中点，则; 注：若焦点在轴上的双曲线，则. • 抛物线中点弦结论 如图，在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点， 点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为， 则. 即： 注：在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点， 点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则.即：. 三、定点弦问题求解策略 圆锥曲线中的定点弦是指一个端点是定点，另一端点为动点的弦，对于这类问题，往往设出动端点的坐标，利用韦达定理中的两根之和或两根之积直接求出动端点的横、纵坐标，简而言之，就是“设而求之”. 四、分点弦（共线向量）问题求解策略 以分点弦AB为例，此处的分点是指弦AB和弦上某点如P之间的关系可用向量式表示，其中. 对于分点弦问题，求解策略主要有: （1） 根据比例关系建立三点坐标之间的关系式，比如关于三点的横坐标的关系式，再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这个三个关系式入手解决 （2） 定比点差法：由第三点的坐标和圆锥曲线上其中一点的坐标，根据比例关系所得到的等式，表示圆锥曲线上另一点的坐标，又由于这个点也在圆锥曲线上，适合圆锥曲线方程，联立方程组加减消元即可解决. 对于某些三点共线（包括诸如直线AB过点C）问题，可利用斜率相等或平行向量知识加以解决. 五、直角弦问题求解策略 直角弦定义：直线与曲线相交于两点A、B，若存在点P，使得PAPB，由弦AB叫做相对于点P的直角弦. 直角弦有三种考法： ①.PAPB以AB为直径的圆过点P； ②APB是钝角点P在以AB为直径的圆内； ③APB是锐角点P在以AB为直径的圆外； 三、弦中的一些重要结论 1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则 (2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则 2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则(1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: (2)为双曲线的上、下焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: 3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 (2)为椭圆的上、下焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 特殊情形，对于焦点在轴上的椭圆，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 (2)为双曲线的上、下焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点， 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 特殊情形，对于焦点在轴上的双曲线，当倾斜角为时，即为双曲线的通径，通径长. 5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 轴上, (2) 焦点在 轴上, 6. 椭圆的角度式焦半径公式 设是椭圆上任意一点，为它的一个焦点，，则 注:上述公式定义为圆锥曲线上的点,为焦点 7. 双曲线的角度式焦半径公式 设 是双曲线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 与 位于 轴的同侧时取正，否则取负. 取 ，无需讨论焦点位置. 8. 抛物线的角度式焦半径公式 已知 是抛物线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 9. 定比分点的定义 若 , 则称点 为线段 的定比分点, 为点 分 的比. 一般地, 设点 , 且 , 则点 的坐标为 . 10. 弦长公式 若直线与圆雉曲线相交于两点，则弦长 11. 圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理） 设直线方程为: (特殊情况要对 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: , 把直线方程代入曲线方程, 可化为 , 设直线和曲线的两交点为 , 求根公式为 (1) 若消去 y, 得 则弦长公式为: (2) 若消去 则弦长公式为 题型一 焦点弦问题（共8小题） 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2027·山东烟台·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 3．（2026高二上·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点）的的个数（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 6．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高三上·湖北·阶段练习）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（    ） A．以为直径的圆与直线相切 B．是钝角 C．的最小值是4 D．若，则直线的斜率为 8．过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 题型二 中点弦问题（共7小题） 9．（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 12．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 13．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，过点作直线． (1)是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； (2)若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 14．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 15．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型三 定点弦问题（共3小题） 16.(2020·全国I卷)已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点． 17.若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆C: 交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 18. 如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 题型四 分点弦问题（共7小题） 19.（2026·高二·湖北·期中）已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 20.（2026·高二·广东·阶段检测）记椭圆的左，右焦点分别为，，下顶点为，直线与相交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（2026·高二·吉林长春·期末）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点、分别在双曲线的左、右两支上，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 22.（2026·高三·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 23．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 24．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 ． 25．（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 题型五 直角弦问题（共4小题） 26．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（多选）（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 28．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 29．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 30．（素养拓展10 圆锥曲线常考定值、定点问题02（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的右顶点，、是双曲线上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 2 / 24 zxxk.com zxxk.com zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $