北京朝阳区2023-2024学年高三六校联考12月阶段性诊断数学试题

2023-2024学年度第一学期阶段性诊断训练 高三数学试卷 2023.12 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项． 1. 在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 3. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 5. 将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6. 已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 某食品加工厂2022年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2023年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 8. 已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 9. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 10. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为．图乙中线段卷后形成的圆弧（图甲），通过同学们的计算发现与之间满足关系式，现在另外一个纸板上画出曲线，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11. 已知，，若与垂直，则实数 . 12. 的展开式中的系数为 （用数字作答）． 13. 已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ． 14. 已知的内角的对边分别为，，，且满足，，则 ；的中线的最大值为 . 15. 设等差数列的前项和为，则有以下四个结论： ① 若，则 ② 若，且，则且 ③ 若，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3:1，则公差为2 ④ 若，且，则和均是的最大值 其中正确命题的序号为 . 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，，四边形ABCD是正方形，，E是棱PD上的动点，且. （Ⅰ）证明：平面ABCD； （Ⅱ）是否存在实数，使得平面PAB与平面AEC所成夹角的余弦值 是？若存在.求出的值；若不存在，请说明理由. 17.（本小题满分13分） 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：． 18.（本小题满分14分） 垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理的相关信息： 高一年级成绩分布表 等级 E D C B A 成绩（分数） 人数 1 2 3 4 10 （Ⅰ）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？ （Ⅱ）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中