福建省厦门第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

厦门二中2023-2024学年（上）高二年段第二次月考 数学科试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等比数列，若，则数列的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ） A. 2 B. 7 C. 14 D. 28 4. 已知的三个顶点分别为，，，则边上的高等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是抛物线上的一动点，焦点为，若定点，则当点在抛物线上移动时，的最小值等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 6. 若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线，点，下面有四个结论： ①曲线C关于x轴对称； ②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积不超过4； ③曲线C上任意点P满足； ④曲线C与曲线有5个不同的交点． 则其中所有正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是递减数列 C. D. 当 时，取得最大值 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等差数列，则三点共线 C. 若是等差数列，且，则当时数列的前n项和有最小值 D. 若等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，则公差为5 11. 已知正方体的棱长为，点满足,其中，为棱的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 若平面，则点的轨迹的长度为 B. 当时，的面积为定值 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，存在点使得平面 12. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则 （ ） A. B. 奇数 C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若圆M的圆心在直线上，且与两坐标轴都相切，则圆M的标准方程可以为___________.（写出满足条件的一个答案即可） 14. 设等差数列前n项和为，若对任意正整数n，都有，则整数______. 15. 已知等差数列满足，则的前12项和为___________． 16. 已知各项均为正数的数列前项和，满足.已知幂函数的对称中心为，若函数，则__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，，. （1）求直线的方程； （2）记的外接圆为圆，求直线被圆截得的弦长. 18. 已知数列的前n项和为，且，__________.请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. （1）求数列通项公式； （2）求的最小值. 19. 已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于A，B两点，且弦中点横坐标为，求的斜率. 20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点． （1）求证：平面平面； （2）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． （1）设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； （2）预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（