2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题：圆的切线证明题

2023-2024年人教版九年级上册数学期末专题：圆的切线证明题 1．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长． 2．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径． 3．如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 4．如图，是的直径，点C，E在上，平分，交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 5．如图，为的外接圆，的角平分线交于点，连接，作交延长线于点，使得． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 6．如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，． (1)求证：是的切线． (2)若，求点到弦的距离． 7．如图，内接于⊙O，是⊙O的直径，，于点，交点，交于点，，连接． (1)求证：是切线； (2)当时，求的长． 8．如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 9．如图，，点在上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 10．已知：如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径等于5，求线段的长． 11．如图，是的直径，C是圆上一点，，垂足为E，交于点D，点P在延长线上，连接、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求点B到的距离． 12．如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，且，． (1)求证：是的切线； (2)点在上，且和点位于的两侧，如果，求四边形面积的最大值． 13．如图，是的直径，点C为圆上一点，平分，与相交于E点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 14．如图，已知等边，以为直径的圆与边交于点D，过点D作，垂足为F，过点F作，垂足为G，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 15．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交与点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 16．如图，内接于，为的直径，，，是等边三角形． (1)求证：为的切线； (2)连接交于点E，求线段的长． 17．如图，以线段上一点为圆心，长为半径画圆，交于点，是上异于点，的一点．，且． (1)求证：是的切线． (2)若，平分，求线段的长． 18．如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 19．如图，为的直径，四边形是矩形，连接，延长交于E，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：为的切线． 20．如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【详解】（1）证明：连接、，如图， 是的直径， ，， ∵， 平分弦，平分， ，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2），， ∴在（1）的结论中有，， 在中，， 同理利用勾股定理，可求得，， ，， 即， 在中，， 是的切线， ， ∴在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 2．(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，切线的判定： （1）连接、，由为的下半圆弧的中点，得，根据等边对等角，即，，进行角的等量代换，得，结合为半径，即可作答． （2）由已知得点位于之间，则设，．，，根据勾股定理列式，得，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接、． 为弧的中点， ， ，， ，， ，，，， ， ． 为半径， 是的切线 （2）解：∵为的下半圆弧的中点，连接交于 ∴点位于之间， 则设，． ，， ∴，， 即， 解得或 当时，点不在之间，不合题意，舍去． 故的半径为5． 3．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半