湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期12月阶段性考试数学试卷

武汉外国语学校2023—2024学年度上学期阶段性考试 高二数学试卷 考试时间：2023年12月21日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，圆，则与的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交 3. 根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数（ ） A. 32 B. 35 C. 36 D. 42 4. 在空间直角坐标系中，点构成的集合是（ ） A. 一条直线 B. 平行于平面的平面 C. 两条直线 D. 平行于平面的平面 5. 以椭圆焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，，则最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（ ） A. 的准线为 B. 的最小值为 C. 以为直径的圆与轴相切 D 若且，则 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知、，下列说法中正确的是（ ） A. 平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B. 平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 C. 平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 D. 平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 10. 正方体中，，是的中点，下列说法中错误的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 若为正方体对角线上的一个动点，最小值为 D. 过、、三点的正方体的截面面积为 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 B. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第二枚反面朝上”为事件，“两枚硬币朝上的面相同”为事件，则事件与事件相互独立 C. 直线方向向量为，且过点，则点到直线的距离为2 D. 两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数有且仅有两个 12. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为，短轴的上、下两个端点分别为，点是椭圆上异于顶点的动点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若，则 C. 过且垂直于的直线与交于两点，则的周长为8 D. 的角平分线与轴相交于点，的取值范围是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知数列的前项和为，则______. 14. 当直线被圆截得的弦长最短时，实数______． 15. 双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线左支交于点，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，若，则直线的方程为______.（请写成一般式） 16. 已知各顶点均在表面积为的球体表面上，，，，则当长度最小时，三棱锥的体积为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角值； （2）若，求的周长最小值. 18. 武汉外国语学校预筹办“六十周年校庆”庆典活动，需要对参与校庆活动的志愿者进行选拔性面试.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第70百分位数（结果精确到0.1）； （3）在第二，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率. 19. 已知双曲线的离心率为，实轴长为2. （1）求双曲线的标准方程与准线方程； （2）设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20. 如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2. （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且，当直线与平面所成角为时，求平面与平面夹角的正切值. 21. 已知抛物线，设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为. （1）证明：动直线恒过定点； （2）如图，设与（1）中的定点的连线交抛物线于两点，证明： 22. 已知椭圆的