安徽省宣城中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

2023～2024学年度第一学期高二年级第二次月考测试 数学试题 命题人：XXX 审题人：XXX 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．过，两点的直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（ ） A． B． C． D． 3．已知圆，圆，则两圆公共弦所在的直线过定点（ ） A. B. C. D. 4. 数列的通项公式为，则数列中的最大项是（ ） A．3 B．19 C． D． 5．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知矩形，沿对角线将△ABC折起，当二面角的余弦值为时，B与D之间距离为（    ） A． B． C． D． 8. 已知双曲线C:的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为( ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法错误的是（    ） A．若直线l的斜率，则该直线倾斜角的取值范围是 B. 已知向量，，若，则为钝角 C. 若与，共面，则存在实数x，y，使 D. 过，两点的所有直线的方程为 10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（　） A．当时，曲线C为圆 B．“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件 C．存在实数，使曲线C为双曲线，且离心率为 D．当时，过点且与双曲线C仅有一个公共点的直线有3条 11．如图，在平面直角坐标系中，线段过点，且，若，则下列说法正确的是（    ） A．点A的轨迹是一个圆 B．的最大值为 C．当三点不共线时，面积的最大值为2 D．的最小值为 12．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过点且交于不同的两点A，B，且，下列结论正确的有（    ） A．直线的斜率 B．若，则 C．若BF平分，则 D． 三、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量在向量上的投影向量是，且，则 . 14．数列满足，且，则数列的前2024项的和 ． 15．过抛物线上一点P，向圆作切线，切点分别为A，B，则当∠APB最大时，P点坐标为 . 16．设分别是椭圆的左、右焦点，B是椭圆C的下顶点，点A在椭圆C上且位于第一象限，若，且平分，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10分）已知△ABC的三个顶点分别是，，. （1）求BC边的高所在的直线的方程； （2）若直线过C点，且A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 18．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，．P D A B C （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 19．（12分）已知圆C：和定点，直线l：（）. （1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长； （2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 20．（12分）已知圆，一动圆P与直线相切且与圆C外切． (1)求动圆圆心P的轨迹T的方程； (2)已知过M（2，0）的直线与曲线T交于A，B两点，点P（3，0），直线AP，BP分别与曲线T交于C，D两点，求证：直线CD过定点. 21．（12分）如图（1）所示，在△ABC中，，，，DE垂直平分AB．现将三角形ADE沿DE折起，使得二面角大小为60°，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点A记作点P）． （1）求点D到面PEC的距离； （2）点Q