2024年河南省中考数学备考重难专题：真实情境中的圆问题 导学案

2024河南中考数学备考重难专题：真实情境中的圆问题导学案 考情分析 年份 题号 题型 分值 背景素材 考查知识 设问形式 辅助线作法 2023 22 解答题 10 滚铁环 (1)切线的性质、互为余角的性质； (2)锐角三角函数，等角的三角函数值相等 (1)求证：两角之和为90°； (2)求线段长 (1)过切点作铅垂线的平行线； (2)过切点作另一切线的平行线 2022 20 9 石磨（传统文化、跨学科“连杆”） (1)切线的性质、互为余角的性质、圆周角定理； (2)相似三角形的判定与性质、勾股定理 (1)求证：角之间的2倍关系； (2)求线段长 (1)连圆心和切点； (2)过点P作直径的垂线 2021 20 9 三分角器（数学文化） 切线的性质、全等三角形的判定与性质 补充已知、求证，写出证明过程 连接圆心和切点 典例精讲 例 (2023开封模拟)中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮、竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5米的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB. 请解答下列问题： (1)求证：∠PAC＝∠PBA； (2)请求出水槽AP的长度． 例题图 方法总结： 知识点：切线的性质、圆周角定理及其推论、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、勾股定理 模型：相似A字型，特点为有共用的一组角，且有另外一组角相等，形似字母“A” 拓展：题中这种角是弦切角，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 辅助线作法：过圆心连半径，通常还要再转化构造直径去解题(题中没有给出直径的情况) 解题方法： 1.证明角间数量关系 切线的性质，圆周角定理的推论，两半径构成的等腰三角形，角间等量转换，两角互余的性质 2.求线段长 通常有3种方法： ①锐角三角函数，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用锐角三角函数需要已知一条边和一个角； ②勾股定理，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用勾股定理需要已知两边； ③三角形相似、全等，用相似需要证明两组角相等，有等边则证明全等 课堂练兵 练习 (2023河南原创卷)我国的纸伞工艺十分巧妙．如图①，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAD，从而保证伞圈C能沿着伞柄滑动．小明受此启发设计了一个“简易平分角的仪器”，如图②，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，则AE为∠PRQ的平分线． 练习题图 (1)如图②，试说明这个平分角的仪器的制作原理； (2)如图③，将上述平分角仪器的顶点A落在⊙O的直径MN的端点M处，边AB与直径MN共线，边AD与⊙O相交于点G，AC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，与AD，BC分别交于点F，H. ①求证：EF⊥AD； ②若⊙O半径为3，AE＝4，求FG的长． 课后小练 练习1 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 如下是弦切角定理一种情况的证明过程： 证明：如图①，∵AB与⊙O相切于点A, ∴∠CAB＝90°，∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数． 练习1题图① 为了验证这一定理的正确性，需要对其他情况进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图②，__________________，圆心O在∠BAC的内部，AD为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，CE，AE为⊙O的弦． 求证：______________． 练习1题图② 练习2 (2023河南原创卷)与圆有关的定理，我们在初中阶段已经学习了很多，例如垂径定理，圆周角定理等．实际上，与圆相关的定理还有很多，如圆幂定理，它包含了相交弦定理，切割线定理，割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程： 已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与⊙O相切于点A，割线