模型1 中点模型-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

书 培优册·四川数学 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　模块一　基本模型篇 基 本 模 型 篇 模型１　中点模型 ［成都２０２３．２６，２０２１．２７］ 模型归纳 类 型 １　巧用中位线 模型解读 情形１：三角形边上遇中点，一点作平行（图１）、两点连接（图２）构造中位线． 图示（Ｄ，Ｅ分别是ＢＣ，ＡＣ边的中点）： 图１ 　　 图２ 结论：ＤＥ＝１２ＡＢ，且ＤＥ∥ＡＢ． 情形２：有中点连线，作平行构造中位线． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）： 结论：ＣＥ＝２ＡＤ，且ＣＥ∥ＡＤ． 针对训练 １．（２０２２安顺）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝２槡２，∠ＡＣＢ＝１２０°，Ｄ是边 ＡＢ的中点，Ｅ是边 ＢＣ上一 点，若ＤＥ平分△ＡＢＣ的周长，则ＤＥ的长为 （Ｃ ） 第１题图 Ａ．槡５２　　　　　　　　　　　　　　　Ｂ． 槡２＋１ ２ Ｃ．槡２ Ｄ．槡３ 类 型 ２　巧用斜边中线 模型解读 条件：直角三角形斜边上遇中点，连接直角顶点与中点构造斜边中线． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）： 结论：ＡＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边上的中线，即ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ． １ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 针对训练 ２．（２０２０乐山改编）如图，将两个含３０°角的直角三角板摆放在一起，Ｅ为ＡＢ的中点，连接ＤＥ． 若ＡＣ＝２，则ＤＥ的长为　槡７　． 第２题图 类 型 ３　巧用“三线合一” 模型解读 情形１：等腰三角形底边上遇中点，连接顶点与中点，巧用“三线合一”． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）：如图１． 结论：ＢＤ＝ＣＤ，ＡＤ⊥ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． 图１ 　　 图２ 情形２：垂线过中点，连接构等腰． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）：如图２． 结论：△ＢＥＣ是等腰三角形，即ＢＥ＝ＣＥ． 针对训练 ３．【优质原创】如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝４５°，点Ｅ是边ＢＣ的中点，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ ＢＣ交ＡＢ于点Ｆ．若ＡＦ＝１，ＥＦ＝槡２，则对角线ＡＣ＝　槡５　． 第３题图 类 型 ４　倍长（类）中线 模型解读 条件：遇见三角形中线或类中线，倍长中线（图１）或类中线（图２）构全等． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）： 图１ 　　 图２ 结论：图１：△ＢＤＥ≌△ＣＤＡ；图２：△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ． ２ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 针对训练 ４．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ的中点，点 Ｅ在 ＡＤ上，且 ＢＥ＝ＡＣ．若∠ＢＥＤ＝４１°，则∠ＣＡＤ＝ 　４１　°． 第４题图 类 型 ５　圆上有中点想垂径定理 模型解读 条件：已知圆上一段弧的中点，连接中点与圆心得半径，该半径垂直平分弧所对的弦． 图示（Ｃ是 ) ＡＢ的中点）： 结论：ＯＣ⊥ＡＢ，ＡＥ＝ＢＥ，ＯＥ２＋ＡＥ２＝ＯＡ２． 针对训练 ５．（２０２３宜宾改编）如图，已知点Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上，Ｃ为 ) ＡＢ的中点．若⊙Ｏ的半径为２，ＡＣ＝槡５， 则ＡＢ＝ （Ａ ） 第５题图 Ａ．槡５５２ Ｂ． 槡５５ ４ Ｃ．２槡５ Ｄ．６ 综合运用 典例精析 例：如图，正方形ＡＢＣＤ和正方形ＥＦＣＧ的边长分别为３和１，点Ｆ，Ｇ分别在边ＢＣ，ＣＤ上，Ｐ为 ＡＥ的中点，连接ＰＧ，则ＰＧ的长为　　　　． 【思路剖析】方法１：有中点，构造中位线确定直角边．延长ＧＥ交ＡＢ于点Ｏ，过点Ｐ作ＰＨ⊥ ＯＥ于点Ｈ，则ＰＨ是△ＯＡＥ的中位线，求得ＰＨ的长和ＨＧ的长，在Ｒｔ△ＰＧＨ中利用勾股定 理求解． 方法２：有中点，倍长中线构全等确定直角边．延长ＧＰ至点Ｑ，使得ＰＱ＝ＰＧ，连接ＡＱ，则可 证得△ＡＰＱ≌△ＥＰＧ，求得ＤＱ和ＤＧ的长，在Ｒｔ△ＱＧＤ中利用勾股定理求解． 【答案】槡５ 【自主解答】方法１：如解图１，延长 ＧＥ交 ＡＢ于点 Ｏ，过点 Ｐ作 ＰＨ⊥ＯＥ于点 Ｈ，则 ＰＨ∥ＡＢ．∵Ｐ是ＡＥ的中点，∴ＰＨ是△ＡＯＥ的中位线，∴ＰＨ＝１２ＯＡ＝ １ ２×（３－１）＝ １．由条件知∠ＯＡＥ＝４５°，∴△ＡＯＥ是等腰直角三角形，即 ＯＡ＝ＯＥ＝２，同理，在Ｒｔ△ＰＨＥ中，ＨＥ＝ＰＨ＝ １，∴ＨＧ＝ＨＥ＋ＥＧ＝１＋１＝２．在Ｒｔ△ＰＨＧ中，ＰＧ＝ ＰＨ２＋ＨＧ槡 ２＝ １２＋２槡 ２＝槡５． ３ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 综合训练 １．【多解法】如图，已知△ＡＢＣ和△ＣＥＦ均为等腰直角三角形，点Ｂ在ＣＥ上，ＡＢ＝ＢＣ＝１，ＣＥ＝ ＥＦ＝３，连接ＡＦ，Ｍ是ＡＦ的中点，连接ＭＢ，则ＭＢ＝　槡２　． 第１题图 　　　　 第２题图 ２．（２０２３德阳中江县期末改编）如图，已知∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°，∠ＤＡＢ＝４５°，Ｍ，Ｎ分别是ＡＣ， ＢＤ的中点，若ＡＣ＝１０，则ＭＮ＝　　　　． ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，Ｍ为ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于点Ｎ，则ＭＮ的长度为 （Ｄ ） Ａ．３　　　　　　　　　Ｂ．３槡２　　　　　　　　Ｃ． ８槡２