江西省上饶市清源学校2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

江西省上饶市清源学校2023-2024学年高三上学期12月考试数学试题 一、单选题:(本大题共8小题,每小题5分,共40 分.在每小题四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数,是函数的4个零点,且,给出以下结论:①的取值范围是,②,③的最小值是4,④的最大值是.其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数,则函数的图象的可能是( ) A. B. C. D. 3.已知,且,则( ) A. B. C. D. 4.已知均为复数,则下列结论中正确的有( ) A.若,则 B.若,则是纯虚数 C. D.若,则是实数 5.如图,在四面体中,点E,F分别是,的中点,点G是线段上靠近点E的一个三等分点,令,,,则( ) A. B. C. D. 6.以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) A. B. C. D. 7.在等比数列中,,,成等差数列,则( ) A. B. C.2 D.4 8.已知函数(是的导函数),则( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中 ,有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分,正确选项不全得2分,有错误选项得0分) 9.设,用符号表示不大于的最大整数,如,.若函数,则下列说法正确的是( ) A. B.函数的值域是 C.若,则 D.方程有2个不同的实数根 10.已知是两个不共线的向量,且,则下列结论正确的是( ) A.的取值范围是 B. C.在方向上的投影向量不可能为 D.与的夹角的最大值为 11.已知点在圆上,点在上,则下列说法正确的是( ) A.的最小值为 B.的最大值为 C.过作圆的切线,切点分别为,则的最小值为 D.过P作直线,使得直线与直线的夹角为,设直线与直线的交点为,则的最大值为 12.函数的导函数的图象如图所示,则( ) A.是函数的极值点 B.3是函数的极大值点 C.在区间上单调递减 D.1是函数的极小值点 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。 13.若命题“”为假命题,则的取值范围是 . 14.已知向量,且,则 . 15.已知椭圆的左、右焦点分别为,,P是C上一点,且,H是线段上靠近的三等分点,且,则C的离心率为 . 16.已知等比数列的前n项和为,若,,成等差数列,则 . 四、解答题:本大题共6小题,共70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知函数(,为常数,且),满足,方程有唯一解. (1)求函数的解析式; (2)如果是上的奇函数,求的值; (3)如果不是奇偶函数,证明:函数在区间上是增函数. 18.已知函数. (1)求函数的单调递增区间和最小正周期; (2)当时,求不等式的解集. (3)求在区间上的最大值和最小值. 19.如图,在中,M是边上一点. (1)若,求; (2)若,记,,且,求. 20.体育课上,同学们进行投篮测试.规定:每位同学投篮3次,至少投中2次则通过测试,若没有通过测试,则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为,每次是否投中相互独立. (1)求甲同学通过测试的概率; (2)若乙同学每次投中的概率为,每次是否投中相互独立.经过测试后,甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X,求X的分布列与数学期望. 21.已知正项数列的前项和为,且. (1)求的通项公式; (2)若,求数列的前项和. 22.为抛物线上一点,过作两条关于对称的直线分别交于两点. (1)求的值及的准线方程; (2)判断直线的斜率是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由. 数学参考答案 1.B 【分析】作出图象,结合图象判断①;对方程化简计算判断②;由对数的运算性质得出,利用基本不等式判断③④. 【详解】作出函数的图象如下图所示: 因为是函数的4个零点, 所以直线与函数的图象有四个交点,且, 根据图象知:,所以①错误; 对于②,由图可知,,则,所以, ,则,所以, 所以,所以,正确; 对于③,由图可知,,由得, 即,所以,所以, 当且仅当即时,等号成立,显然不满足, 所以,错误; 对于④,因为,当且仅当时,等号成立, 所以,即的最大值是,正确. 综上,正确结论为②④,共2个. 故选:B. 【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 2.A 【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时,的符号,结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数,有,解得, 所以,