精品解析：江苏省江阴市第一中学2023-2024学年高三上学期12月阶段测试数学试题

高三上期 数学试题 2023.12 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 3. 已知一次函数在坐标轴上的截距相等且不为零，其图象经过点，令，，记数列的前n项和为，当时，n的值等于（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的左、右顶点分别为，，焦距为，两条渐近线的夹角为．设点的坐标为．若为等腰三角形，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知定义在R的函数对任意的x满足，当，．函数 ，若函数在 上有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥如图所示，顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为，其中△BCD和△ABC都是边长为的正三角形，则该“鞠”的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知函数对任意，都有，且，则函数的图像（ ） A. 经过坐标原点 B. 与曲线且经过相同的定点 C. 关于原点对称 D. 关于轴对称 10. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（ ） A. 该校竞赛成绩的极差为70分 B. 值为0.005 C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分 D. 这组数据的第30百分位数为81 11. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数为周期函数，且最小正周期为 D. 函数的导函数的最大值为3 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则（ ） A. B. 双曲线离心率 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 原点在以为圆心，为半径的圆上 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知平面向量，，若，则______. 14. 在数列中，，且．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________. 16. 已知函数存在唯一零点，则的取值范围为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 18. 记的内角的对边分别为.已知. （1）证明：； （2）若，求边长. 19. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点， （1）求证： （2）求点到平面的距离； 20. 已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆周长为． （1）求抛物线C的方程； （2）设，B是抛物线C上一点，且，直线与直线交于点Q，过点Q作轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 21. 为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表： 购买新能源汽车（人数） 购买传统燃油车（人数） 男性 女性 （1）当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小