数学（北京卷01）-学易金卷：2024年高考第一次模拟考试

2024年高考数学第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．已知的展开式中，的系数为80，则（    ） A． B． C． D．2 6．设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7．的内角A、B、C所对的边分别为，已知，，，则（    ） A．4 B． C． D． 8．已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（         ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．给出以下四个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足； ③满足的点P的轨迹长度为； ④满足的点P的轨迹长度为． 其中正确的结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数，则 . 12．双曲线的渐近线为等边三角形的边，所在直线，直线过双曲线的焦点，且，则 ． 13．已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最大值是 . 14．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 升.(结果保留分数) 15．设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（本题13分）已知函数，．在下列关于函数与图像的三个条件中选择一个作为已知，使函数唯一确定，并求解下列问题． (1)求函数的解析式； (2)若对于，存在唯一的，使得，求的取值范围． 条件①：两函数图像在内有且仅有两个交点； 条件②：两函数图像的相邻两交点的水平距离为； 条件③：两函数图像最高点间的最小水平距离为． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 17．（本题13分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中，，，，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题： (1)求证：平面CDE； (2)求二面角的余弦值． (3)在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 条件①：平面平面ABCD； 条件②：平面平面ABCD； 条件③：． 18．（本题14分）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对