2023—2024学年华东师大版数学九年级上册期末常考题型专练2

华东师大版 数学9年级上册 常考题型专练 第2部分 (五)新定义型试题(二) (六)“化斜为直”构造直角三角形的策略 (七)跨学科试题(二) 第1部分（另一份资料） (一)新定义型试题(一) (二)跨学科试题(一) (三)相似三角形判定的模型　　　　　　　　　　　　　 (四)构造三角形中位线的方法 (五)新定义型试题(二) 类型一　定义新运算型 1.在我们进入高中以后,将会学到下面的三角函数公式: sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, tan(α+β)=(其中1-tan αtan β≠0). 例如:sin 90°=sin(30°+60°)=sin 30°cos 60°+cos 30°sin 60°=×+×=1. 利用上述公式计算下列三角函数:①sin 105°=,②sin 15°=,③cos 90°=0,④sin 15°+tan 105°=2-2+.其中正确的个数为 (　　) A.1　 B.2　 C.3　 D.4 2.对于钝角α,定义它的三角函数值如下: sin α=sin(180°-α),cos α=-cos(180°-α). (1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值; (2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A、B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小. 类型二　定义新概念型 3.【设参法】如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作cot α,即cot α==,根据上述定义,解答下列问题: (1)cot 30°=　　;  (2)已知tan A=,其中∠A为锐角,试求cot A的值. 4.学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sad A,这时sad A==.易知一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对的定义,解下列问题: (1)sad 60°的值为 (　　) A. 　B.1　C.　D.2 (2)对于0°<A<180°,∠A的正对值sad A的取值范围是　　　　　.  (3)已知sin α=,其中α为锐角,试求sad α的值. 类型三　定义新方法型 5.如图1,在平面直角坐标系中,射线OA与x轴的正半轴重合,射线OA绕着原点O逆时针旋转到OB的位置,把转过的角度记为α,把射线OA称为∠α的始边,射线OB称为∠α的终边,设α是一个任意角,α的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是(x,y),它到原点的距离是r=PO=,那么定义:∠α的正弦sin α=,∠α的余弦cos α=,∠α的正切tan α=. 根据以上的定义,当α=120°时,如图2所示,在120°角的终边OB上取一点P(-1,),则x=-1,y=,r==2,∴sin 120°==,cos 120°==-,tan 120°===-. 图1　　图2 根据上述知识填空: (1)sin 150°=　　　　,cos 150°=　　　　, tan 150°=　　　;  (2)猜想sin(180°-α)与sin α的关系为 　　　　　　　　　　　　　　　,  猜想cos(180°-α)与cos α的关系为 　　　　　　　　　　　　　　　,  猜想tan(180°-α)与tan α的关系为 　　　　　　　　　　　　　　　;  (3)sin 135°=　　　　,cos 135°=　　　　,tan 135°=　　　.  (六)“化斜为直”构造直角三角形的策略 类型一　构造“背靠背型”直角三角形 1.如图,小明在数学实践活动中,利用所学知识对他所在小区居民楼CD的高度进行测量,从小明家阳台A测得点D的仰角为37°,测得点C的俯角为45°,已知观测点到地面的高度AB= 33 m.请你利用小明测量的数据,求楼CD的高度.(结果取整数,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.41) 2. 某海港南北方向上有两个海岸观测站A,B,距离为10海里.从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行,某一时刻在观测站A,B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处.经过0.5小时轮船航行到D处,此时在观测站