2024年中考数学·知识点梳理：二次函数【考点总结+真题演练】(全国通用)

中考数学 知识点梳理 考点总结 + 真题演练 （涵盖近年来的中考真题和中考模拟） 原卷版 二次函数 - 考点总结 - 1. 二次函数的定义 · 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 · 判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0这个关键条件 · 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义 2. 二次函数解析式的三种形式 · 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） · 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标 · 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0） · 待定系数法求二次函数解析式（必考） 在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出相应的函数解析式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解 3. 二次函数的图象及性质 解析式 y＝ax2+bx+c（a≠0） 对称轴 顶点坐标 （，） a的符号 a＞0 a＜0 示例图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当时，y最小值= 当时，y最大值= 最点 顶点是抛物线的最低点 顶点是抛物线的最高点 增减性 x时，y随x的增大而减小 x时，y随x的增大而增大 x时，y随x的增大而增大 x时，y随x的增大而减小 · 二次函数图象与系数的关系 · a决定抛物线的开口方向和大小 当a＞0时，开口向上 当a＜0时，开口向下 |a|越大，开口越小 · b和a共同决定对称轴的位置 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧 口诀：左同右异 · c决定抛物线与y轴交点的纵坐标，交点坐标：（0，c） · 抛物线与x轴的交点个数（与一元二次方程的根之间的关系） 当b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点 当b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点 当b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 · 求抛物线与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点的横坐标 · 抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），可得到对称轴x · 二次函数的最值 确定一个二次函数的最值，需要看自变量的取值范围 当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标 当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和图像左右两个端点处的函数值并进行比较，进而求得最值 4. 抛物线的平移 · 左加右减自变量 例：y＝ax2向右平移h个单位长度，得到y＝a（x﹣h）2 · 上加下减常数项 例：y＝a（x﹣h）2向上平移k个单位长度，得到y＝a（x﹣h）2+k · 二次函数图象的平移可看作顶点的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式 例：抛物线y1＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1,2）,抛物线y2的顶点坐标为（3,4）,则由y1平移到y2可以观察顶点坐标的移动，再根据上面提到的“左加右减，上加下减”的原则去做平移即可。 （1,2）->（3,4），横坐标1->3，即向右平移2个单位长度，得到y’＝（x﹣1﹣2）2+2，即y’＝（x﹣3）2+2；纵坐标2->4，即向上平移2个单位长度，得到y2＝（x﹣3）2+2+2，即y2＝（x﹣3）2+4 5. 二次函数的应用 · 利用二次函数解决销售问题 在销售问题中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围 · 几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中关于最值的讨论 · 构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，将实际问题转化为数学问题，从而确定抛物线的解析式，进而解决实际问题 - 真题演练 - 一．选择题（共20小题） 1．（2023秋•裕华区校级期中）下列关于的函数中，二次函数是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•广饶县期中）已知是关于的二次函数，则的值为 　　 A． B．3 C．或