湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性检测（12月）数学试题

长沙市第一中学2023—2024学年度高二第一学期第二次阶段性检测 数学 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知直线与直线，若，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 6. 函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 树人中学为了解高二年级学生每天的体育活动时间，随机抽取200名学生统计每天体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成六组，对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A B. 这200名学生每天体育活动时间的众数是55 C. 这200名学生每天体育活动时间的中位数小于60 D. 这200名学生中有60人每天体育活动时间低于50分钟 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且弦的中点到直线的距离为6，则（ ） A. B. 两点到抛物线准线的距离之和为12 C. 线段的长为12 D. 的最大值为36 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 三棱锥的体积为 C. 存在点，使得 D. 点到平面距离的最小值为 12. 已知，下列说法正确是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的最小正周期为 C. 若，则在上存在极大值 D. 时， 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设是等比数列，且，则__________． 14. 若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的取值范围为__________． 15. 如图，在三棱锥中，，点在线段上，且，则直线与直线所成角的余弦值为__________． 16. 已知函数，若方程恰有5个不等实根，则实数的取值范围是__________． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每场比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且各场比赛结果相互独立．比赛方案采用五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）． （1）求前2场比赛中，甲至少赢得一场的概率； （2）已知前2场比赛甲、乙各胜一场，求最终甲获胜的概率． 18. 已知的内角所对的边分别是，已知． （1）求角； （2）若的面积为，求取最小值时的周长． 19. 已知数列首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和． 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，． （1）求证：平面平面； （2）直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由． 22. 已知． （1）当时，证明：在上单调递增； （2）若恒成立，求的取值范围． 长沙市第一中学2023—2024学年度高二第一学期第二次阶段性检测 数学 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BCD 【12题答案】 【答案】ACD