精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考数学试题（四）

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（四） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A 1 B. C. D. 3. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为（，），已知，，按规则有（，），则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（ ） A. 31 B. 16 C. 11 D. 7 4. 二项式的展开式中的系数与的系数之比为（ ） A. 6 B. -6 C. 15 D. -15 5. 函数的部分图象大致为（ ） A B. C. D. 6. 已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -3 7. 若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 8. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若样本数据（，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断X与Y有关 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. f（x）的最大值为2 B. f（x）在上单调递增 C. f（x）在上有4个零点 D. 把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称 11. 已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. ，则，，成等差数列 C. 若，，三点共线，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 12. 如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则（ ） A. 点存无数个位置满足 B. 若正方体的棱长为，三棱锥的体积最大值为 C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是 D. 点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则__________． 14. 某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为__________种． 15. 已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C：切线，切点为Q，则的最小值为_____________． 16. 已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，，，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为，，则_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投一次，若一方命中且另一方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响． （1）求1局投篮比赛，甲、乙平局的概率； （2）设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望． 18. 如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为. （1）求证：平面平面BDE； （2）求二面角B-EF-D的余弦值. 19. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的前项和. 20. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若D是边上一点，且，若，求面积的最大值． 21. 设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值. 22. 已知函数有两个零点． （1）求a的取值范围； （2）设是的