压轴大题14 披荆斩棘搞定导数综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（新教材新高考通用）

压轴大题14 披荆斩棘搞定导数综合问题 压轴秘籍 1. 导函数与原函数的关系 单调递增，单调递减 2. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 3. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 4. 常用函数不等式： ①，其加强不等式； ②，其加强不等式. ③，， 放缩 ， 5. 利用导数证明不等式问题： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可. 6. 证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： （1）证明（或）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （2）证明（或）（、都为正数）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （3）应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 压轴训练 一、问答题 1．（2023·吉林·统考一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对，恒成立．求实数的取值范围． 2．（2023·云南红河·统考一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 3．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)求的最值； (2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 4．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知． (1)若当时函数取到极值，求的值； (2)讨论函数在区间上的零点个数． 5．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，函数在上是增函数，求a的最大整数值． 6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知函数，，且在上的极大值为1． (1)求实数的值； (2)若，，，求的值． 7．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数，（）. (1)若为偶函数，求此时在点处的切线方程； (2)设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，且，求实数的取值范围. 8．（2023上·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数，其中. (1)若，求在处的切线方程； (2)已知不等式恒成立，当取最大值时，求的值. 9．（2023·广东韶关·统考一模）已知函数. (1)若在处的切线与的图象切于点，求的坐标； (2)若函数的极小值小于零，求实数的取值范围. 10．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 11．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，． (1)若函数图象上存在关于原点对称的两点，求的取值范围； (2)当时，恒成立，求正实数的最大值． 12．（2023·河北保定·统考二模）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程． (2)若的图象恒在轴上方，求实数的取值范围． 13．（2023下·福建宁德·高三统考阶段练习）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，. (1)已知函数，，求实数取值的集合； (2)已知函数有两个不同极值点、，证明 14．（2023·广东·统考二模）已知，函数，为的导函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论在区间上的零点个数； (3)比较与的大小，并说明理由. 二、证明题 15．（2023·福建·校联考模拟预测）设函数（）. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，，记过点，的直线的斜率为，若，证明：. 16．（2023·福建龙岩·统考二模）已知函数，． (1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线； (2)若，且，证明：． 17．（2023·浙江·统考一模）已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)求所有的实数，使得函数在上单调. 18．（2023下·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）已知函数和函数有相同的最大值. (1)求的值；