压轴大题13 直曲结合解决圆锥曲线综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（新教材新高考通用）

压轴大题13 直曲结合解决圆锥曲线综合问题 压轴秘籍 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解 2.若直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（） 则： 则：弦长 或 圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理） 设直线方程为: (特殊情况要对 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: , 把直线方程代入曲线方程, 可化为 , 设直线和曲线的两交点为 , 求根公式为 (1) 若消去 y, 得 则弦长公式为: (2) 若消去 则弦长公式为: 3. 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 4. 处理定值问题的思路： 联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可. 压轴训练 一、问答题 1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值. 2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点． (1)当直线的斜率为时，求； (2)是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）椭圆E的方程为，左、右顶点分别为，，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P (1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若，求的长； (2)若直线l过点，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线与直线交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由． 4．（2023·河北沧州·校考三模）已知为圆：上任一点，，，，且满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线：与轨迹相交于，两点，与轴交于点，过的中点且斜率为的直线与轴交于点，记，若，求的取值范围. 5．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为．椭圆的中心为，左焦点为，上顶点为，右顶点为，且． (1)求抛物线和椭圆的标准方程． (2)设直线经过点，与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点．记和的面积分别为和，是否存在直线，使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 6．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 7．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，，左顶点的坐标为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)分别是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于，的一个动点，直线分别于直线交于两点，问以为直径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由. 8．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为A，椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若B，C是椭圆上不同的两点，且直线AB和直线AC的斜率之积为，求面积的最大值． 9．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4． (1)求的方程； (2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由． 10．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如下图所示，已知椭圆的上顶点为，离心率为，且椭圆经过点.    (1)求椭圆的方程； (2)若过点作圆（圆在椭圆内）的两条切线分别与椭圆相交于两点（异于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 11．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积为． (1)求C的