压轴大题11 归纳总结梳理数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（新教材新高考通用）

压轴大题11 归纳总结梳理数列综合问题 压轴秘籍 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 4．倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 压轴训练 一、解答题 1．（23·24高三上·广东梅州·阶段练习）已知数列的前项和为，，是与的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求的取值范围． (3)设，且数列的前项和为，求证：． 2．（2023·山东菏泽·一模）已知首项不为0的等差数列，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列. (1)求； (2)设为数列的前项和，证明：. 3．（22·23高三下·河南安阳·阶段练习）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 4．（2023·广东·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，． 5．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，，数列满足，． (1)求数列与的通项公式； (2)若，求使成立的整数n的最大值．（表示不超过的最大整数） 6．（2023高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图象上，且的图象在点处的切线的斜率为． (1)求数列的通项公式； (2)设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求数列的通项公式． 7．（22·23上·全国·模拟预测）在数列中，，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 8．（2023·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，，，为数列前项和. (1)若，，求的通项公式； (2)若，设为前n项平方和，证明：恒成立. 9．（2023·全国·模拟预测）若一个数列的奇数项为公差为正的等差数列，偶数项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表示为，，，若数列为“摇摆数列”且，， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和．（注：） 10．（2023·广西梧州·一模）已知函数. (1)求函数的最小值； (2)证明：. 11．（2023·四川乐山·一模）已知函数， (1)讨论函数的单调性; (2)若恒成立， ①求a的取值范围； ②设，证明： 12．（22·23高三上·山东青岛·期末）记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） (1)求数列的通项公式； (2)记正项数列的前项和为，，，，求. 13．（22·23高三上·江苏·期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知． ①试证明：为等比数列； ②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小． 14．（2023·河北石家庄·一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数且，正整数n不小于2，那么．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题． (1)证明：当时，对任意恒成