压轴小题07 三维想象解决立体几何综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（新教材新高考通用）

压轴小题07 三维想象解决立体几何综合问题 压轴秘籍 1. 立体几何基础公式 所有椎体体积公式：，所有柱体体积公式：，球体体积公式： 球体表面积公式：，圆柱： 圆锥： 2. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式 （1） 已知长宽高求体对角线： （2） 已知共点三面对角线求体对角线： 3. 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 4. 欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F). （1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：； （2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：. 5．空间的线线平行或垂直 设，，则 ； . 5. 夹角公式 设，b＝，则 . 6．异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 7．直线与平面所成角，(为平面的法向量). 8. .二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 9. 异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离). 10. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 11. 球的表面积和体积公式 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 12. 球的切接概念 空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球 空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球 13. 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 14. 墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 15. 直棱柱外接球之汉堡模型 （1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 （2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理 直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形） 16. 底面外接圆的半径r的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半 17. 正棱锥类型 , 解出 18. 侧棱垂直与底面-垂面型 19. 侧面垂直与底面-切瓜模型 如图：平面 平面 ( 为小圆直径) （1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长; （2）在中,可根据正弦定理,解出 如图：:平面平面 （1）确定球心的位置,由图知三点共线; （2）算出小圆面半径,算出棱锥的高 （3）勾股定理: ，解出 20. 内切球 如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法) （1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积; （2）设内切球半径为,建立等式: （3）解出 结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. 压轴训练 一、单选题 1．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）现有一个底面边长为，侧棱长为的正三棱锥框架，其各顶点都在球的球面上．将一个圆气球放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时两球表面积之和为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·统考一模）四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，连接交的延长线于点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·山东·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·吉林长春·统考三模）已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，