压轴小题06 探寻规律妙解数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（新教材新高考通用）

压轴小题06 探寻规律妙解数列综合问题 压轴秘籍 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 3. 若，为等差数列，则，仍为等差数列 4. 等差数列前n项和公式：或 5. 等差数列的前项和中，，（为奇数） 6. 等比数列通项公式： 7. 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 8. 若，为等比数列，则，仍为等比数列 9. 等比数列前项和公式： 10. 已知与的关系 11. 分组求和 若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和 12. 裂项相消求和 压轴训练 一、单选题 1．（2023·湖南永州·统考三模）已知正项数列满足，，其前200项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）数列的各项均不为0，前1357项均为正数,且有：,则的可能取值个数为（    ） A．665 B．666 C．1330 D．1332 3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列、，，，其中为不大于x的最大整数.若，，，有且仅有4个不同的，使得，则m一共有（    ）个不同的取值. A．120 B．126 C．210 D．252 4．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 5．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是递增数列 7．（2023·广东肇庆·统考二模）设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4 8．（2023·江苏·统考一模）已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：） A．1007 B．1009 C．2014 D．2018 10．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C． D． 二、多选题 11．（2023·广东茂名·统考二模）已知数列和满足：，，，，，则下列结论错误的是（    ） A．数列是公比为的等比数列 B．仅有有限项使得 C．数列是递增数列 D．数列是递减数列 12．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）数列，，，该数列为著名的裴波那契数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物的生长规律，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 13．（2023·全国·模拟预测）数列满足，，表示落在区间的项数，其中，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023·江苏苏州·校联考三模）若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（    ） A． B． C． D． 15．（2023·浙江·校联考二模）已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（    ） A．存在公差为1的等差数列，使得 B．存在公比为2的等比数列，使得 C．若，则 D．若，则 16．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）已知数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论多小），总存在正整数，使得时，恒有成立，就称数列收敛于（极限为），即数列为收敛数列.下列结论正确的是（    ） A．数列是一个收敛数列 B．若数列为收敛数列，则，使得，都有 C．若数列和为收敛数列，而数列一定为收敛数列 D．若数列和为收敛数列，则数列不一定为收敛数列 17．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 18．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）对于给定的数列，如果存在实数，使得