压轴小题03 奇思妙解函数与导数综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（新教材新高考通用）

压轴小题03 奇思妙解函数与导数综合问题 压轴秘籍 1. 八大常用函数的求导公式 （为常数） ；例：，，， ，， ，， 2. 导数的四则运算 （1） 和的导数： （2） 差的导数： （3） 积的导数：（前导后不导前不导后导） （4） 商的导数：， 3. 复合函数的求导公式 函数中，设（内函数），则（外函数） 4. 导数的几何意义 （1） 导数的几何意义 导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率 （2） 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为： 5. 用导数判断原函数的单调性 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 6. 判别是极大（小）值的方法 当函数在点处连续时， （1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值； （2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值. 7. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 8. 能成立（有解）问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 9. 利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 10. 利用曲线的切线进行放缩证明不等式 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有． 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有． 利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数． 11. 利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式 由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）． 综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式： 与有关的常用不等式： （1）（）； （2）（）． 与有关的常用不等式： （1）（）； （2）（）； （3）（），（）； （4）（），（）． 用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式． 压轴训练 一、单选题 1．（2023·浙江·模拟预测）已知恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北沧州·校考三模）已知，且，为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东威海·统考二模）已知函数，，若总存在两条不同的直线与曲线，均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·安徽·校联考三模）已知函数，若对任意的恒成立，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知，函数，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数的导函数为和的定义域均为为偶函数，也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 8．（2023·广东广州·统考模拟预测）若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设，，已知函数，有且只有一个零点