精品解析：北京市景山学校2023-2024学年高三上学期12月月考数学试卷

北京景山学校 2023—2024学年度第一学期 高三数学12月月考试卷 注意事项： （1）请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷，不得用铅笔或红笔答卷. （2）认真审题， 字迹工整， 卷面整洁. （3）本试卷共5页，共三道大题，21道小题.考试时间120分钟. （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上， 其余试题答案填写在答题纸上， 在试卷上作答无效. 一. 选择题(共 10小题，每小题4分，共40分) 1. 若集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 设 则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中， 既是偶函数， 又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 非充分非必要条件 5. 已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则满足x的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知圆与圆相外切，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知函数，在下列结论中： ①是的一个周期； ②图象关于直线对称； ③在区间上无最大值 正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ） A. 若等比数列是收敛数列，则公比 B. 等差数列不可能是收敛数列 C. 设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列 D. 设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列 二. 填空题(共5小题，每小题5分，共25分) 11. 函数的定义域为___________（用区间表示）. 12. 二项式的展开式中常数项为 __________.(用数字作答) 13. 已知抛物线： ，焦点为，若在抛物线上且在第一象限，，求直线的斜率为________． 14. 正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，，则的值为 _________；的值为 ___________. 15. 已知函数的图象的一条对称轴为直线，为函数的导函数，函数，给出以下结论：①直线是图象的一条对称轴；②的最小正周期为；③的最大值为；④点是图象的一个对称中心.则所有正确结论的序号是______. 三. 解答题(共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.) 16. 如图， 在三棱柱 中，为等边三角形，四边形 是边长为2正方形， D为AB中点， 且 （1）求证: CD⊥平面； （2）已知点 P 在线段上，且直线AP 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值. 17. 在中，角的对边分别为. （1）求的大小； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 18 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 女生 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆，长轴长为4， 离心率是 （1）求椭圆 C的标准方程； （2）斜率为且不过原点的直线交椭圆C于 A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点 G，交直线于点D. 若 证明：直线经过定点，并求出定点坐标. 20. 已知