精品解析：重庆市沙坪坝区重庆一中2024届高三上学期12月月考数学试题

2023年重庆一中高2024届12月月考 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知p：双曲线C的方程为，q：双曲线C的渐近线方程为，则（ ） A. p是q的充要条件 B. p是q的充分不必要条件 C. p是q的必要不充分条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 3. ，，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 5. 已知在四面体中，底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为，D为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ） A. 216种 B. 384种 C. 408种 D. 432种 7. 已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. D. 1012 8. 已知，，，，，则的最大值为（ ） A B. 4 C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知左、右焦点分别为，的椭圆的长轴长为4，过的直线交椭圆于P，Q两点，则（ ） A. 离心率 B. 若线段垂直于x轴，则 C. 的周长为8 D. 的内切圆半径为1 10. 与二项式定理类似，有莱布尼兹公式：，其中（，2，…，n）为u的k阶导数，，，则（ ） A. B. C. D. ，则 11. 全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏高手．下列说法正确的有（ ） A. 全球游戏高手占比不超过10% B. 某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1% C. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8% D. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5% 12. 已知定义在上的函数满足，，且实数对任意都成立（，），则（ ） A. B. 有极小值，无极大值 C. 既有极小值，也有极大值 D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知数列满足，且，则______． 14. 已知的两共轭虚根为，，且，则______． 15. 已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 16. 正方体棱长为2，E，F分别是棱，中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为______． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师进行了调查． 附：，其中． 0.050 0010 0.001 3841 6.635 10.828 （1）完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关； 喜欢看演唱会 不喜欢看演唱会 合计 文科老师 30 理科老师 40 合计 50 （2）三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率． 18. 如图，在直三棱柱中，，，E，F为上分别靠近C和四等分点，若多面体的体积为40． （1）求到平面的距离； （2）求二面角的大小． 19. 已知数列满足，，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前n项的和． 20. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，成等比数列． （1）若，求角C； （2）若的面积为S，求的取值范围． 21. 已知抛物线的准线交轴于，过作斜率为的直线交于，过作斜率为的直线交于． （1）若抛物线的焦点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明； （2）若三点共线， ①证明：为定值； ②求直线与夹角的余弦值的最小值． 22. 已知 （1）当时，求过点的切线方程； （2）若对，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． [参