2024河南中考数学备考重难专题：二次函数图象与性质综合题 交点问题 导学案

2024河南中考数学备考重难专题 二次函数图象与性质综合题 交点问题 考情分析 年份 题号 题型 分值 解题关键点 设问形式 2023 22 解答题 10 (1)一次函数、二次函数图象上点的性质 (2)一次函数与抛物线解析式联立方程组求解（交点问题），抛物线位于直线上方部分对应的x的取值范围（数形结合思想） (3)线段与抛物线交点问题，数形结合思想，分类讨论思想 (1)求二次函数解析式的一次项系数和一次函数解析式中的常数项 (2)求交点坐标，根据图象确定不等式解集 (3)直线与抛物线只有一个交点时，求点横坐标的范围 典例精讲 例 (2023河南平顶山模拟卷)已知，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于C，D两点，交y轴于点E，其中点C的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1. 点A，B为坐标平面内两点，其坐标分别为A(，－5)，B(4，－5). 例题题图 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当－1≤x≤2时，求y的取值范围； (3)连接AB，若抛物线y＝x2＋bx＋c向下平移k(k＞0)个单位时，与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围． 课堂练兵 练习题 已知：抛物线y＝x2－2x＋3a＋1(a为常数)． (1)当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上有两点M(－1，yM)，N(2，yN)，请比较yM与yN的大小； (3)当x≤3时，该抛物线与直线y＝2x－3有两个交点，求a的取值范围． 课后小练 练习1 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c分别交x轴、y轴于点A(－1，0)，C(0，－3)，连接AC. 练习题图 (1)求抛物线的解析式； (2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上两点，当x1≤－2，m≤x2≤m＋1时，均有y1≥y2，求m的取值范围； (3)将该抛物线向左平移n(n＞0)个单位长度后，得到一条新抛物线，若新抛物线与线段AC只有一个交点，请直接写出n的取值范围． 练习2 (2023河南预测卷)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过(－2，0)，(4，0)两点． (1)求二次函数的解析式； (2)当－1≤x≤5时，求函数值的取值范围； (3)一次函数y＝(3＋m)x＋6＋2m的图象与二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜5＜x2，求m的取值范围． 答案 典例精讲 例 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于C，D两点，点C的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)； (2)∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－4)，－1≤x≤2， ∴函数最小值为y＝－4，对称轴为直线x＝1， ∵|－1－1|＞|2－1|， ∴当x＝－1时，y＝1＋2－3＝0为函数最大值， ∴当－1≤x≤2时，y的取值范围是－4≤y≤0； (3)k＝1或＜k≤10. 【解法提示】抛物线y＝x2－2x－3向下平移k(k＞0)个单位后的解析式为y＝x2－2x－3－k，抛物线顶点坐标为(1，－4－k)，当顶点落在线段AB上时，－4－k＝－5，解得k＝1；当抛物线向下移动，经过B(4，－5)时，16－8－3－k＝－5，解得k＝10；当抛物线经过A(，－5)时， －1－3－k＝－5，解得k＝，综上所述，当k＝1或＜k≤10时，函数图象与线段AB只有一个公共点． 课堂练兵 练习 解：(1)当a＝1时，抛物线的顶点坐标为(1，3)； (2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向上，且1－(－1)＝2，2－1＝1，2＞1， ∴yM＞yN； (3)∵二次函数的图象在x≤3的部分与一次函数y＝2x－3的图象有两个交点， 令x2－2x＋3a＋1＝2x－3， 整理得x2－4x＋3a＋4＝0， 由根的判别式得16－4(3a＋4)＞0，解得a＜0， 把x＝3代入y＝2x－3，得y＝3×2－3＝3， 把(3，3)代入y＝x2－2x＋3a＋1得3＝9－6＋3a＋1， 解得a＝－， ∴a的取值范围为－≤a＜0. 课后小练 练习1 解：(1)将A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c中得， 解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3； (2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， 将x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝5，∴抛物线经过(－2，5)， ∵点(－2，5)关于对称轴的对称点为(4，5)，y1≥y2，∴－2≤m＜m＋1≤4， 解得－2≤m≤3； (3) 2≤n≤4. 【解法提示】由题意得新抛物线的解析式为y＝(x－1＋n)2－4，当新抛物线过点C(0，－3)时，将