2024年河南中考数学备考重难专题：综合与实践 与折叠有关的探究 导学案

2024河南中考数学备考重难专题 综合与实践 与折叠有关的探究 导学案 考情分析 年份 题号 题型 分值 折叠次数 设问形式 解题关键点 2023 23 解 答 题 10 折叠2次 (1)写出图中30°的角 (2)①求两角度数 ②判断两角数量关系 (3)写出线段长 (1)直角三角形斜边上中线等于斜边一半 (2)①△QMB≌△QCB， ∠MBQ=∠MCQ ②证得两三角形全等，对应角相等 (3)分类讨论思想：折叠过程中，当点Q分别在CF和DF上 典例精讲 例 (2023河南逆袭卷)综合与实践 问题情境： 如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠A＝60°，点E，F，G，H为四条边上的动点，且满足AE＝CH，AF＝CG，将菱形ABCD分别沿EF和GH折叠，点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，连接A′G，C′F，得到四边形A′FC′G. 操作探究： (1)如图①，当点A′与点C′分别落在菱形ABCD的边AD和BC上时，求证：四边形A′FC′G是矩形； (2)如图②，在(1)的条件下，当四边形A′FC′G是正方形时，求AF的长； 拓展延伸： (3)如图③，隐去右边折叠部分，若点F是AB边的中点，当A′F垂直于菱形ABCD的边时，请直接写出AE的长． 　例题图 课堂练兵 练习 (2023河南定心卷)观察猜想 (1)如图①，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，将△DCE沿直线DE折叠后得到△DFE，点F在矩形ABCD的内部，延长DF交AB于点G，连接EG，猜想△DEG是直角三角形，请你证明这个猜想； 类比探究 (2)若将图①中的矩形ABCD变为如图②的平行四边形，其他条件不变，那么(1)中的猜想是否仍然成立？请说明理由； 拓展延伸 (3)在(2)的基础上，若∠ABC＝60°，AB＝6，G为AB边的三等分点，请直接写出BC的长． 练习题图 课后小练 练习 (2023甘肃黑白卷)如图是人教版八年级上册数学教材第79页的部分内容． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 问题解决：(1)如图1，已知矩形ABCD(AB>AD)，将矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点P的位置，AP交CD于点Q.请判断△ACQ的形状，并进行证明； 　练习1题图 拓展延伸：(2)如图2，折叠矩形ABCD使点B落在CD上的点E处，折痕为GH，过点E作EF∥BC交GH于点F，连接BF，发现四边形BFEG是特殊四边形，请先写出是哪种特殊四边形，并进行证明； 类比迁移：(3)在(2)的基础上，若AD＝6，AB＝10，当点E在CD边上移动时，折痕的端点G，H也随着移动，若限定G，H分别在线段BC，AB上移动，求四边形BFEG面积的变化范围． 答案 典例精讲 例 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴AD∥BC，CD∥AB，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D， ∴∠A＋∠B＝180°， ∴∠B＝∠D＝120°. 由折叠可知，AF＝A′F， ∵∠A＝60°， ∴△AFA′是等边三角形， 同理，△CGC′是等边三角形， ∴∠AFA′＝60°. ∵AF＝CG， ∴AA′＝AF＝CG＝C′C＝A′F＝C′G， ∴BF＝BC′＝DG＝DA′. 在△DA′G和△BC′F中，， ∴△DA′G≌△BC′F(SAS)， ∴A′G＝FC′. ∵A′F＝C′G， ∴四边形A′FC′G是平行四边形． ∵∠B＝120°，BF＝BC′，∴∠BFC′＝30°. ∵∠BFC′＋∠A′FC′＋∠A′FA＝180°， ∴∠A′FC′＝180°－60°－30°＝90°. ∴四边形A′FC′G是矩形； (2)解：如解图①，过点B作BM⊥FC′于点M， ∵BF＝BC′，∴FC′＝2FM， ∵四边形A′FC′G是正方形， ∴A′F＝ FC′， 在Rt△FBM中，∵∠BFC′＝30°， ∴设BF＝x，则FM＝x， 例题解图① ∴FC′＝x， ∴AF＝A′F＝x， ∵AF＋BF＝2， ∴x＋x＝2， ∴x＝＝－1， ∴AF＝x＝3－， ∴当四边形A′FC′G是正方形时，AF＝3－； (3)－1或2－. 【解法提示】当A′F垂直于菱形ABCD的边时，分两种情况讨论如下：①如解图②，当A′F⊥AB，即A′F⊥CD时，∠AFA′＝90°，由折叠的性质得∠EFA＝∠A′FE＝45°，过点E作EG⊥AB于点G，则∠GEF＝45°，∴EG＝FG，设AG＝x，∵∠A＝60°，∴EG＝FG＝x，AE＝2x，∵AB＝2，F是AB的中点，∴AF＝1，∴x＋x＝1，解得x＝，∴AE＝－1；②如解图③，当A′F⊥AD，即A′F⊥BC时，设A′F交AD于点H，则∠AHF＝90°，∵∠A＝60°，∴HF＝AF＝，由折叠的性质得A′F＝AF＝1，∠A