2024年河南中考数学备考重难专题：抛物线型实际应用题 导学案

2024河南中考数学备考重难专题：抛物线型实际应用题 导学案 考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 设问形式 解题关键点 2023 21 解答题 10 喷水景观 (1)求抛物线的表达式； (2)求小红与爸爸的水平距离 (1)从题中得到顶点（5，3.2）和P（0，0.7）； (2)由题干得到y=1.6，求得到x的值与爸爸（x=3）的距离. 典例精讲 例题 (2023北部湾黑白卷黑卷)如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式y＝－x2＋x，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线y＝－x2＋bx＋c.当无人机飞越坡底上空时(即点D)，与地面的距离为20米. 例题图 (1)求无人机飞行轨迹的函数解析式； (2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d； (3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 方法总结 在解抛物线型实际应用题时，解题的关键从情境入手，将题干中的信息转化为抛物线中的相关信息，一般为将距离转化为点位置（常需要分类讨论思想）和点坐标，再根据二次函数性质解题 求点坐标间距离 水平距离：有两种形式：x轴上两点间的（水平）距离，图象上两点距y轴的距离，实质是求两点横坐标之差的绝对值； 竖直距离：两条抛物线上同一横坐标所对应y值之差； 是否安全通过类问题：判断两条抛物线上同一横坐标所对应y值之差是否大于定值，大于则 能安全通过。 课堂练兵 练习 如图1的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 练习1题 课后小练 练习1 如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝－x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米． （1）直接写出b，c的值； （2）求大棚的棚顶到地面的距离； （3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 练习1题 练习2 如图所示，一小球M从地面上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，以过O的水平线为x轴，以过O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，OA是一个坡度为的斜坡，若小球到达最高点的坐标为（4，8），（坡度：坡角的正切） （1）求抛物线的解析式； （2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为多少米？ （3）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高6米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由． 练习2题图 答案 典例精讲 例 解：(1)由题意可知，点B(－10，0)和D(0，20)， ∴， 解得， ∴无人机飞行轨迹的函数解析式为y＝－x2＋x＋20， 令y＝0，则－x2＋x＋20＝0， 解得x1＝－10，x2＝100， ∴x的取值范围为－10≤x≤100； (2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，x＝30－10＝20， ∴无人机与山坡的竖直距离d＝－x2＋x＋20－(－x2＋x)＝x2－x＋20， 当x＝20时，d＝×202－×20＋20＝13(米)， 答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d为13米； (3)安全.理由如下： 由(2)知，d＝x2－x＋20 ＝(x2－90x)＋20 ＝(x2－90x＋ 452－452)＋20 ＝(x－45)2＋， ∵＞0， ∴当x＝45时，d有最小值＞9， ∴无人机此次飞行是安全的． 课堂练兵 练习 解：（1）设石块运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x－20）2+10， 把（0，0）代入，得400a+10＝0， 解得a＝－． ∴y＝－（x－20）2+10． 即y＝－x2+x． （2）石块能飞越防御墙AB，理由如下： 把x＝30代入