2024年河南省中考数学备考重难专题：二次函数图象与性质综合题 对称性、增减性、最值问题 导学案

2024河南中考数学备考重难专题 考情分析 年份 题号 题型 分值 解题关键点 设问形式 2023 21 解答题 10 (1)将B点(0，c)转化为A点(c，0) (2)根据抛物线上点与对称轴的距离，判断出点M的位置；分类讨论点M，N的坐标；根据二次函数增减性确定最值 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)求抛物线上动点Q纵坐标的取值范围 典例精讲 例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t. (1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； (2)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t. ①若y1的最小值是－2，求y1的最大值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围． 方法总结： 求抛物线上点的纵坐标最值或取值范围的一般步骤： 第一步 画草图，求出对称轴（直线x=t）； 第二步 结合草图，判断两端点x1，x2（取值范围为x1≤x≤x2）与对称轴（直线x=t） 的位置：位于对称轴的同侧，还是异侧.若位于同侧，则只根据增减性确定 确定最值的位置（即两端点处）；若为异侧，则顶点处为其中的一个最值 点，另一个最值，根据离对称轴的距离确定（或根据对称性转移到同侧， 根据增减性确定）； 第三步 取最值处的x值代入函数解析式，确定最值或取值范围. 对称轴 最值 开口方向 对称轴同侧 x1≤x≤x2 对称轴异侧 x1≤x≤x2 a＞0 y1＞y2 最小值：离对称轴越近端点纵坐标 最大值：离对称轴越远端点纵坐标 yt最小，y1最大 最小值：顶点的纵坐标 最大值：离对称轴越远端点纵坐标 利用对称性将将两点转化到同侧，根据增减性比较大小 a＜0 y1＞y2 最大值：离对称轴越近端点纵坐标 最小值：离对称轴越远端点纵坐标 yt最大，y2最小 最大值：顶点纵坐标 最小值：离对称轴越远端点纵坐标 课堂练兵 练习 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4ax＋c(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C. (1)若OC＝2OB，求抛物线的解析式； (2)若点P(x0，m),Q(，n)在抛物线上，且m＜n，求x0的取值范围． 课后小练 练习1 (2022河南题组小卷)已知抛物线y＝2x2－4mx＋2m2＋2m－5与x轴交于A、B两点(A、B不重合)，顶点为P. (1)当m＝2时，求线段AB的长度； (2)若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式； (3)当2m－5≤x≤2m－2时，y的最小值为2，求m的值． 练习2 (2022河南逆袭卷)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a，b均为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝2. (1)求抛物线顶点M的坐标和b的值(用含a的代数式表示)； (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在此抛物线上，且x1＜2＜x2，x1＋x2＜4，若a＞0，试比较y1与y2的大小，并说明理由； (3)若自变量x的值满足－1≤x≤1，与其对应的函数的最大值为18，请直接写出b的值． 答案 典例精讲 例 解：(1)∵y＝x2－2tx＋t2－t＝(x－t)2－t， ∴抛物线的顶点坐标为(t，－t)； (2)①∵y＝(x－t)2－t， ∴抛物线的对称轴为直线x＝t. ∵1>0，∴抛物线开口向上． ∵t－1≤x1≤t＋2，∴当x1＝t时，y1的最小值为－t. ∵y1的最小值是－2，∴t＝2. ∵|t－1－t|＝1，|t＋2－t|＝2， ∴当x1＝t＋2时，y1最大＝(t＋2－t)2－t＝4－t＝4－2＝2， 即y1的最大值为2； ②t<－或t>. 【解法提示】∵点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线y＝(x－t)2－t上，∴y1＝(x1－t)2－t，y2＝(x2－t)2－t.∵对于x1，x2，都有y1＜y2，∴y2－y1＝(x2－t)2－t－(x1－t)2＋t＝(x2－t)2－(x1－t)2＝(x2－x1)(x2＋x1－2t)>0，∴，或 (Ⅰ)当时，由①知，x2>x1，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴1－t>t＋2，∴t＜－.由②知，x2＋x1>2t，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴0≤x2＋x1≤3，∴2t<0，∴t<0，即t＜－； (Ⅱ)当时，由③知，x2＜x1，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴1－t＜t－1，∴t>1.由④知，x2＋x1＜2t，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴0≤x2＋x1≤3，∴2t>3，∴t>，综上所述，满足条件的t的取值范围为