精品解析：北京市东直门中学2024届高三上学期阶段性检测数学试题

北京市东直门中学2023-2024学年度第一学期阶段检测 高三数学 2023.12 考试时间：120分钟 总分：150分 班级______ 姓名______ 学号______ 第一部分（选择题，共40分） 一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 二项式的展开式中，含项的系数是（ ） A. B. 462 C. 792 D. 3. 已知双曲线的焦距等于实轴长的倍，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数满足，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 6. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过A点作准线的垂线交准线于，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度，鱼被打捞上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间（分）满足的函数关系式为若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去的新鲜度（ ）（参考数据：） A. 33分钟 B. 43分钟 C. 50分钟 D. 56分钟 9. “”是“函数有且只有一个零点”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 在平面上，定点、之间的距离.曲线是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系.已知点是曲线上一点，下列说法中正确的有（ ） ①曲线中心对称图形： ②曲线上有两个点到点、距离相等； ③曲线上的点的纵坐标的取值范围是； ④曲线上的点到原点距离的最大值为 A ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 已知某种生物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是_____________. 12. 设是等差数列的前项和，若，，则_____________． 13. 直线与直线平行，则这两条平行线间距离为__________. 14. 直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为__________. 15. 已知正项数列满足，则下列说法正确的有__________. ①若，则； ②若，则数列中有无穷多项大于； ③存在，使数列是单调递增数列； ④存在实数，使. 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，且______.在以下三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答（若选择多个分别解答，以选择第一个计分.） ①函数为偶函数； ②； ③， （1）求函数解析式； （2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值，并指出相应的的值. 17. 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用表示这8名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，请直接写出的值.（不需要说明理由） 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标：若不存在，请说明理由. 20. 设函数，曲线在点处切线方程为. （1）求的值； （2）求证：当时，；