北京市第十五中学2023-2024学年高三上学期12月阶段测试数学试题

北京十五中高三年级阶段测试数学试卷 2023.12 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. i 3. 在中，若，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 4. 已知直线与平面满足，则下列判断一定正确的是 A. B. C. D. 5. 在中，，点P是的中点，则（ ） A. B. 4 C. D. 6 6. 已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 9. 已知F是抛物线的焦点，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，M为线段的中点，若，则p的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 10. 在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是正方形 D. 点轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 展开式的常数项为______. 12. 已知双曲线渐近线方程为，则双曲线的离心率______. 13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 14. 我国度量衡发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 15. 函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是______________． 三、解答题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线AB与平面BMN所成角正弦值． 17. 设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下： 男生评分结果的频数分布表 分数区间 频数 3 3 16 38 20 为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下： 分数 满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 （1）求a的值； （2）为进一步改善食堂状况，从评分在的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列； （3）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取两名学生，求有且只有一人对食堂“比较满意”的概率. 19. 已知椭圆C：的短轴长等于，离心率． （1）求椭圆标准方程； （2）过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由． 20. 设函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，当时，求证：. （3）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若