《最大公因数的概念和求两个数的最大公因数》（教案）-五年级数学下册人教版

第7课时 最大公因数的概念和求两个数的最大公因数 教案 教学目标： 1.理解公因数和最大公因数的意义，在表示因数和公因数时渗透集合思想。 2.掌握求两个数的最大公因数的方法。 教学重点： 公因数和最大公因数的意义及求两个数的最大公因数。 教学难点： 求两个数的最大公因数。 【创设情境 引入新课】 以“引入1”为例。 师：同学们，我们一起来回顾一下倍数的知识，这道题谁是谁的倍数呢？ 生：84是7的倍数。 师：很好，那几是几的因数呢？ 生：7是84的因数。 师：大家一起来说一说，什么是因数？什么是倍数？ 生：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 师：所以同学们知道倍数和因数的关系是怎样的吗？ 生：相互依存。 师：非常好，同学们，你们知道什么是公因数吗？它应该怎么求呢？今天我们就一起来学习最大公因数的概念和求两个数的最大公因数。（板书课题） 设计意图：通过复习倍数、因数等知识，由学生已有的知识经验入手，调动学生的积极性，利用已经学过的知识，迁移到新的知识，从而激发其学习兴趣，为后续学习“求最大公因数”做好准备。 【合作交流 探索新知】 一、公因数和最大公因数的意义 师：那么我们一起来找找8的因数有哪些呢？ 生：1，2，4，8。 师：很好，12的因数呢？ 生：1，2，3，4，6，12。 教师出示例1.8和12公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？ 师：刚刚我们找出了8和12的因数，那谁能告诉我8和12公有的因数是哪些？ 生：1，2，4。 师：刚才我们把8和12的因数列举出来找公因数的方法呢，就是列举法。那是否还有其他表示公因数的方法呢？ 师讲解：我们还可以把对应的因数写在集合中，这个时候两个集合会有重叠的部分，就像图中所示。那么中间重叠的部分就是8和12的公因数。大家知道重叠的部分要填什么吗？（出示课件） 生：1，2，4。 师：非常好，所以接下来两边不重叠的地方又是多少呢？ 学生自由回答。老师出示答案。 师：这种画图找重叠的方法叫作集合法。所以同学们知道8和12的公有的因数有哪些吗？ 生：1，2，4. 师讲解：我们把几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。所以1，2，4就是8和12的公因数。 师：很好，那8和12的最大公因数是多少呢？什么是最大公因数呢？我们在数学上把公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。所以你们知道8和12的最大公因数是几吗？ 生：4。 二、求两个数的最大公因数的方法 师：我们学完了最大公因数的概念，接下来分组讨论一下，想办法求18和27的最大公因数。（出示例2） 巡堂观察学生讨论情况，最后小组派代表回答讨论结果。 师：很好，根据同学们的结果，我们分成了两大方法，一种是列举法，先找出18和27各自的因数。18的因数有哪些呢？ 生：1，2，3，6，9，18。 师：很好，一定要找齐全喔，我们接下来找27的因数。 生：1，3，9，27。 师：非常好，所以18和27的公因数是哪些呢？ 生：1，3，9。 师：那最大公因数呢？ 生：9。 师：很好，这种一个个列举下来，最后找出最大公因数的方法，我们称之为列举法。那除了这种方法，我们还可以用筛选法。根据因数的特性，我们先找出两个数中较小的数的因数，也就是18的因数。18的因数有哪些？同学们再回答一下。 生：1，2，3，6，9，18。 师：很好，我们这时候再看18的因数中哪些是 27 的因数，并找出最大的那个。哪些是27的因数呢？ 生：1，3，9，是27的因数。 师：很好，那么在1，3，9中我们找最大的数字，就是18和27的最大公因数。除此以外，还有没有其他方法呢？ 师：我们还可以通过分解质因数的方法来求，18分解质因数等于多少乘多少呢？ 生：3×3×2。 师：很好，那么27分解质因数等于多少乘多少呢？ 生：3×3×3。 师：这时候我们可以看到，18和27都有两个3相乘，所以18和27的最大公因数就是3×3=9。而我们通常为了简便，就会写成右侧的形式。在短除号里面的数字用公有的质因数相除。例如18和27用公有的质因数3去除，剩下的商6和9再继续用质因数3去除，除到两个商只有公因数1为止。所以同学们这种方法求出来的最大公因数是几呢？ 生：3×3=9。 师：很好，右边的这种方法我们又称为短除法。请同学们先在草稿纸上试着用短除法计算 12 和 18 的最大公因数，再小组讨论一下短除法的特点。 巡堂观察学生讨论情况，最后小组派代表回答讨论结果。 出示答案和步骤，并让学生跟读一遍。 将两个数写在短除号中，用它们的除 1以外的公有的最小质因数作除数去除。 将除数写在短除号的左边，将商写在下面，再找商的除 1 以外的公有的最小质因数作除数继续去除，直到得到的商的公因数只有 1 为止。 将所有的除数相乘，所得的积就是这几个数的最大