山东省泰安市某校2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题

新泰一中东校2022级高二上学期第二次质量检测 数学试题 时间：120分钟；满分150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D．4 2．若直线与直线平行，则的值是（    ） A．1或 B． C．或 D． 3． 空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则 ( ) A． B．C． D． 4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（    ） A． B． C． D． 5．在数列中，，且，则数列的前15项和为（    ） A．120 B．102 C．84 D．138 6．已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（    ） A．2022 B．4044 C．4043 D．2023 8．已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题5分，共20分） 9．已知圆和圆，下列说法正确的是（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上有2个点到直线的距离为 C．两圆有两条公切线 D．点在圆上，点在圆上，的最大值为 10.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D．不存在正整数，使得为质数 11．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（    ）    A． 与所成角的大小为 B.，，，四点共面 C．在线段上存在点，使得平面 D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 12．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A． 椭圆的蒙日圆方程为 B．若为正方形，则的边长为 C．若是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或 D．若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18 三、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为 . 14．已知数列满足，则__________． 15．在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为 . 16．已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为 ． 四、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分） 17．已知数列的前n项和公式为： (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求的最小值，并求取得最小值时n的值. 18．已知的三个顶点是． (1)求AB边的高所在直线的方程； (2)若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程． 19．已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q． (1)求点Q的轨迹方程； (2)过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程． 20．已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，. (1)证明：； (2)试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由. 22．如图，已知圆，动圆P过点且与圆内切于点N，记动圆圆心P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)过点的直线l（不与x轴重合）与E交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，已知点，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 新泰一中东校2022级高二