概率与统计第一课时 计数原理与二项式定理的思维训练方法讲义-2024届高三数学二轮复习

概率与统计 第一课时 计数原理与二项式定理的思维训练方法 1.计数原理的思维训练方法 计数问题，主要是“多类多步问题”，因此，需要先分类，再分步，特别需要注意不要重复，不要遗漏。 特别提示：适当增加分类，可以简化解题思维。 例1 (2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有（ ） A .60种 B .120种 C .240种 D .480种 思维学习方法： ①学会分类、分步方法 本题可分为4类，每一类又分为2步： 第一类：第一步：从5名志愿者中选2人到“花样滑冰项目”，第二步：剩下3人到另外3个项目；分配方案数： 第一步：与顺序无关，有：, 第二步：与顺序有关，有：,共计： 每一类的分配方案数相同，4类共计： 答案：C ②本题需要学会 第一，计数问题，主要是“多类多步问题”，先找到分类方法，再确定每一类的分步方法。 第二，可适当增加分类，这样可降低思维难度。如本题分为四类较好。 例2 [2020年全国新高考1卷] 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名，乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 A .120种 B .90种 C .60种 D .30种 思维学习方法： ①学会分类、分步方法 本题可分为1类，分为3步： 第一步：从6名志愿者中选3人到“丙场馆”，与顺序无关，分配方案数为： 第二步：从剩下3人选2人到“乙场馆”，与顺序有关，分配方案数为： 第三步：最后1人放入“甲场馆”，分配方案数为：1 共计： 答案：C 例3《周髀算经》是中国最古老的天文学、数学著作,公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图),用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给图中5个区域进行涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域的颜色不能相同,则不同的涂色方法种数为 A .36 B .48 C .72 D .96 思维学习方法： ①学会分类、分步方法 按颜色总数分类：有4种、3种颜色2类，2种颜色不可能。 ②计算第一类（4种颜色）的涂色方法种数 分步：第一步：涂E区域（与其它区域都相邻，用去一种，其它4个区域用3种） 第二步：涂A区域 第三步：涂C区域 又分为2类：C区域颜色与A区域相同：涂色方法种数为： C区域颜色与A区域不同：涂色方法种数为： ③计算第2类（3种颜色）的涂色方法种数 分步：第一步：选颜色：4种选3种 第二步：涂E区域（与其它区域都相邻，用去一种，其它4个区域用2种） 第三步：涂A区域，C区域与A区域必须相同，剩下1种颜色必须涂另外2个区域 答案：C ②本题需要学会 第一，学会分类方法，按颜色种类分，不会重复，一般不会遗漏。 第二，学会分步方法，总是把最复杂的先确定，其次确定比较复杂的，依此类推。 如本题E区域最复杂，其次选A区域，再选C区域。 例4 元宵节是中国传统佳节,放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动,某社区计划举办元宵节找花灯活动,准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯,其中2盏是人物灯.现要求这3个地方都有灯(同一地方的花灯不考虑位置的差别),且人物灯不能挂在同一个地方,则不同的悬挂方法种数为 A .114 B.92 C .72 D .42 思维学习方法： ①学会分类、分步方法 本题可分为2大类，每一大类又可分为3小类： 具体分类方法是： 第一，第一大类：一个地方悬挂3盏花灯,其余2个地方悬挂1盏 可分为3小类：A地悬挂3盏，B地悬挂3盏，C地悬挂3盏; A地悬挂3盏，又可分为2类： A地悬挂3盏灯都不是“人物灯”，有种 A地悬挂3盏灯有“1盏人物灯”，有： (A地在3盏“非人物灯”选2盏，在2盏“人物灯”选1盏，剩下2盏放在B地、C地) 共计： 第二，第二大类：2个地方悬挂2盏花灯,1个地方悬挂1盏 可分为3小类：A地悬挂1盏，B地悬挂1盏，C地悬挂1盏; A地悬挂1盏, 又可分为2类： A地悬挂1盏灯是“人物灯”，有: (A地在2盏“人物灯”选1盏，B地在4盏选2盏，剩下2盏放在C地) A地悬挂1盏灯不是“人物灯”，有： (A地3盏“非人物灯”选1盏， B地在2盏“非人物灯”选1盏，在2盏“人物灯”选1盏，剩下2盏放在C地) 共计： 答案：A ②本题需要学会 第一，多分类，使得每一类变得简单，尽量不遗漏。 第二，注意：每一步都要考虑有几种不同的方法。 第三，养成把每一件物品都“编号”的习惯。 2.