专题10 数列不等式的放缩问题 （7大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题10 数列不等式的放缩问题 【目录】 1 2 2 4 6 考点一：先求和后放缩 6 考点二：裂项放缩 7 考点三：等比放缩 8 考点四： 型不等式的证明 9 考点五：型不等式的证明 10 考点六：型不等式的证明 11 考点七：型不等式的证明 12 数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢． 考点要求 考题统计 考情分析 数列不等式 2023年II卷第18题，12分 2022年I卷第17题，10分 2021年乙卷第19题，12分 2021年II卷第17题，10分 2021年浙江卷第20题，15分 【命题预测】 预测2024年高考，多以解答题形式出现，具体估计为： （1）导数压轴题第二问，利用导数证明数列不等式，难度较大． （2）数列解答题第二问，难度中等偏上，属综合性问题． 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ； ， （16）糖水不等式 若，则；若，则． 1．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 2．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 3．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前项和．证明：． 4．（2021•天津）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，． （1）求数列和的通项公式； （2）记，． 证明：是等比数列； 证明：． 5．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求使成立的的最小值． 6．（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立， 求实数的取值范围． 考点一：先求和后放缩 例1．（2023·广西玉林·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知，． (1)证明：当时，数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 例2．（2023·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． 例3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 例4．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知为数列的前项和，，，记. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：. 考点二：裂项放缩 例5．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 例6．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知数列满足，，且． (1)令，求； (2)记的前n和为，求证：． 例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知正项数列中，，前项和为，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 考点三：等比放缩 例8．（2023·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列和的公共项组成的数列记为，求的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明： 例9．（2023·河南·高三校联考期中）已知数列的前n项和为，且． (1)求； (2)若，记数列的前n项和为，求证：． 例10．（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列的首项，是与的等差中项． (1)求证：数列是等比数列； (2)证明：． 考点四： 型不等式的证明 例11．（2023·北京通州·高三统考期中）已知数列的各项均为正数，且满足（，且）. (1)若； （i）请写出一个满足条件的数列的前四项； （ii）求证：存在，使得成立； (2)设数列的前项和为，求证：. 例12．（2023·江苏盐城·高三统考期中）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统