精品解析：四川省绵阳市南山中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

绵阳南山中学2023年秋季高2022级12月月考 数学试题 命题人：雍华 审题人：任芳 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 倾斜角为 C. 方向向量可以是 D. 方向向量可以是 2. 设空间向量则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 3. 甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲､乙两人下成平局的概率是（ ） A B. C. D. 4. 正四面体的棱长为2，点D是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，直线是双曲线的一条渐近线，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（ ） A. 在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B. 早睡人群睡眠指数主要集中在 C. 早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D. 晚睡人群睡眠指数主要集中在 7. 在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 正方体棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. 直线与直线夹角是 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面平行 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 9. 已知，，是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. ，，一定能构成空间的一个基底 10. 某单位为了解职工健康情况，采用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，下列说法正确的是（ ） A. 样本为该单位的职工 B. 每一位职工被抽中的可能性为 C. 该单位职工平均体重 D. 单位职工的方差 11. 已知圆，点，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 圆上存在两个点到直线的距离为2 C. 过点作圆的切线，则的方程为 D. 若点是圆上一点，，当最小时， 12. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时， C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 当最小时，切线与准线的交点坐标为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.) 13. 直线与直线垂直，则直线在轴上的截距是_________. 14. 如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是_________.（注：事件A的对立事件用符号表示） 15. 已知椭圆的上下焦点分别为、，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为_________ . 16. 已知点，，曲线上的任意点满足，曲线与双曲线的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次为，且，则的离心率为______. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， （1）求直线与的交点坐标； （2）过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线方程． 18. 为了普及“宪法”知识，南山社区针对本社区中青年人举办了一次“宪法”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本校的“宪法”宣传使者.现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求两位组长来自不同组的概率. 19. 已知抛物线的焦点为，且经过点. （1）求； （2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点，为坐标原点，证明:. 20. 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中