重难点专题44 阿波罗尼斯圆与蒙日圆七大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题44阿波罗尼斯圆与蒙日圆七大题型汇总 题型1阿氏圆与轨迹 1 题型2阿氏圆与圆锥曲线 3 题型3阿氏圆求非对称型最值 6 题型4阿氏圆与向量 8 题型5阿氏圆与立体几何 9 题型6椭圆中的蒙日圆 11 题型7双曲线与抛物线中的蒙日圆 14 题型1阿氏圆与轨迹 阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线 【例题1】（2021下·陕西宝鸡·高三统考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1. （2023上·浙江金华·高三阶段练习）已知圆的直径，点满足.记点的轨迹为，设与交于两点，则 . 【变式1-1】2. （江苏省海高三模拟考试数学试题）在平面直角坐标中，已知点，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是 ． 【变式1-1】3. （2021·湖南衡阳·校联考一模）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为4，动点满足，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ；最大值是 . 【变式1-1】4. （2019上·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【变式1-1】5.（2023上·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式1-1】6.（多选）（2023上·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的方程为 B．点都在曲线内部 C．当三点不共线时，则 D．若，则的最小值为 题型2阿氏圆与圆锥曲线 阿波罗尼斯圆的证明 【定理1】设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， （1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； （2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 【例题2】（2021上·北京·高三北京市八一中学校考期末）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆，、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，的面积的最大值为，的面积的最小值为，则椭圆的离心率为 . 【变式2-1】1. （2021·安徽黄山·统考一模）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当 且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线， 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足， 面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足 ，则双曲线方程是 ；过的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点､分别为 ､的内心，则的范围是 . 【变式2-1】2. （2021上·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，、，则点满足所得点轨迹就是阿氏圆；已知点，为抛物线上的动点，