湖南省百校大联考2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题

湖南省百校大联考2023-2024年高二12月考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至4.3.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A B. C. D. 3. 已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 1或 5. 有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ） A. 37 B. 36 C. 18 D. 19 8. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 该数列为递增数列 D. 10. 某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（单位：厘米）的平均值为170，身高的方差为24，女生身高的平均值为160，身高的方差为19，则（ ） A. 该班全体学生身高的平均值为165 B. 该班全体学生身高的平均值为166 C. 该班全体学生身高的方差为46 D. 该班全体学生身高的方差为44 11. 已知椭圆与双曲线有相同焦点，，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则（ ） A. B. C. 为直角三角形 D. 上存在一点，使得 12. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ） A. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则 B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面 C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为 D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，，若，则______． 14. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则______． 15. 某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过______年． 16. 若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若，证明是等差数列，并求前项和． 18. 已知圆与圆关于直线对称． （1）求的标准方程； （2）记与的公共点为，求四边形的面积． 19. 内角，，所对的边分别为，，．已知，，成等差数列． （1）若，求； （2）若，当取得最小值时，求的面积. 20. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列前项和． 21. 如图，在四棱锥中，，，与均为正三角形. （1）证明：平面. （2）证明：平面. （3）设平面平面，平面平