1.1.1空间向量及其运算（习题课）导学案——2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

学科 数学 年级 高二 时间 年 月 日 课题 1.1.1空间向量及其运算（习题课） 课型 新授课 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的线性运算. 3.掌握空间向量的数量积及其性质. 4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 一、知识填空 1、空间向量的概念 空间向量 空间中既有 又有 的量称为空间向量（简称为向量） 模或长度 向量的大小也称为 （或长度） 表示方法 几何表示 可用有向线段直观表示． 字母表示 如图，a的起点是A，终点是B，可用或 表示． 零向量 始点和终点相同的向量；零向量的方向是 . 单位向量 模等于 的向量． 相等向量 大小 、方向 的向量． 相反向量 大小相等、方向 的向量． 平行向量 方向 或者 的两个非零向量．记作： ，两个向量平行也称为两个向量 . 向量共面 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过 之后，都能在 ，则称这些向量共面． 2、 空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 ＝ ＝a＋b 交换律：a＋b＝ ； 结合律：(a＋b)＋c＝ 减法 ＝ ＝a－b 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ(μ a)＝ ； 分配律：(λ＋μ)a＝ ， λ(a＋b)＝ 3．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角 记法 〈a，b〉 范围 〈a，b〉∈ ．当〈a，b〉＝ 时， 4．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝ 交换律 a·b＝ 分配律 a·(b＋c)＝ (3)数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔ ②若a与b同向，则a·b＝ 若反向，则a·b＝ 特别地，a·a＝ 或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④|a·b|≤|a|·|b| 二、典例探究 一、选择题 1.下列命题中，假命题是(　　) A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 2.在下列命题中： ①若a、b共线，则a、b所在的直线平行； ②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面； ③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面； ④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A. a＝b B. a＋b为实数0 C. a与b方向相同 D. |a|＝3 4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式－＋化简后的结果是(　　) A. B. C. D. 5.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为(　　) A．1 B．0 C．3 D. 二、填空题 6.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝____. 7.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥