二次函数专题1 动点与线段和差最值问题-2023年九年级中考数学复习

二次函数与线段 （一）“和最小” 方法：在直线l上找一点P使PA+PB和最小，常把两点转化到直线的异侧，即作B点关于l的对称点（也可以作Ａ点关于l的对称点Ａ′），连接ＡＢ′交l于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。 变式：在l上找一P点，使得△PAB周长最小 （二）“差最大” 方法：在直线l上找一点P使∣PA－PB∣最大，常把两点转化到直线的同侧，即作A点关于 （也可以作B点关于l的对称点B′），连接A′B交l于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。 注：若是和最小，则把两点转化到直线的异侧；若是差的绝对值最大，则把两点转化到直线的同侧；可以简记为“和异差同”。 1、如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值． 2、抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的负半轴上，抛物线与y轴交于点C （1） 求A、B两点的坐标； （2） 在抛物线的对称轴上是否存在点P使△PAC的周长最小， （3） 求出△PAC的最小周长，求点P的坐标。O A B C y x 3、如图，在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点E是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE最小时点E的坐标； （3）点P是x轴上的一个动点，求当PD+PC最小时点P的坐标； （4）点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值． F E 4、如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为y轴上任意一点，当点P到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点P的坐标； （3）点M为y轴上任意一点，当的值最大时，求此时点M的坐标；并求 的最大值。x y C B _ D _ A O 【练习】 1、如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB； （3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标． 2、已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B． （1）试确定a的值，并写出B点的坐标； （2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式； （3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值； （4）若将抛物线平移m（m≠0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由． 3、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标； （3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB. （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标； 若不存在，请说明理由.B A O y x 5、如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求该二次函数的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． C D O B A y x 6、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值