圆锥曲线综合应用讲义-2024届高三数学一轮复习

11.6 圆锥曲线的综合应用 【例1】已知双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E,F,若△OEF的面积为,求直线l的方程. 【解析】（1）由已知c=2及点P(3,)在双曲线C上, ∴解得a2=2,b2=2 ∴双曲线C的方程为 (2)由题意,知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2, 由得(1-k2)x2-4kx-6=0. ① 设E(x1，y1)，F(x2，y2),则x1，x2是方程①的两个不等实根, ∴1-k2≠0且Δ=16k2+24(1-k2)>0, 即k2<3且k2≠1. ② 此时x1+x2= ，x1x2= 又S△OEF=|OQ||x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=, 即(x1+x2)2-4x1x2=8, ∴，解得k=±，适合②式, ∴直线l的方程为y=x+2或y=-x+2. 【例2】设椭圆的左顶点为A，上顶点为.已知椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上异于点A的两动点，若直线的斜率之积为. ①证明直线恒过定点，并求出该点坐标； ②求面积的最大值. 【解析】（1）由题意可得，，再结合，可求出，从而可求得椭圆的方程， （2） ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，再结合化简可得，从而可得或进而可求出定点，当直线的斜率不存在时，若直线过定点，求出两点坐标，求解即可， ②设直线过定点为，则的面积，直线的方程为，代入椭圆方程中，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，化简换元后利用基本不等式可求得结果 【小问1详解】 由于，① 又，② 由①②解得， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，消去得：， 设，则，. 又，由题知， 则，且， 则. ， 则， 或 当时，直线的方程为， 此时直线过定点，显然不适合题意， 当时，直线的方程为. 此时直线过定点. 当直线的斜率不存在时，若直线过定点， 点的坐标分别为. 满足. 综上，直线过定点. ②不妨设直线过定点为.则的面积， 设直线方程为，联立椭圆的方程消去得， 则 所以. 令，则 因为，所以（当且仅当即）， 所以，即面积的最大值为. 【变式探究】 1、如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆C上位于直线x＝2两侧的动点．若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值． 2、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线12x2-4y2=3的一个焦点,O是坐标原点. (1)求抛物线方程; (2)经过焦点F作直线l,与抛物线相交于A,B两点,=5,若,且点D在抛物线上,求实数m的值. 3、已知椭圆，短轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）已知定点，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，问是否存在k的值，使以为直径的圆过E点？请说明理由． 4、已知椭圆:的一个顶点为，离心率为．直线与椭圆交于不同的两点M，N． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为时，求的值． 5．已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点. 习题： 11.6 圆锥曲线的综合应用 1、设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 2、已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 3. 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． （1）求l的斜率； （2）若，求的面积． 4. 设双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求C的方程； （2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 5. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程；