专题07 利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题07 利用导函数研究函数零点问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题 2 题型二：证明唯一零点问题 3 题型三：根据零点（根）的个数求参数 4 三、专项训练 6 一、必备秘籍 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 3、利用导数确定函数零点的常用方法 (1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． (2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 4、利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 二、典型题型 题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题 1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数． 2．（2023·陕西渭南·校考模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数． (1)求的单调区间： (2)讨论函数在区间上零点的个数． 3．（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设函数，，. (1)求函数的单调区间； (2)当时，讨论与图象的交点个数． 4．（2023上·上海虹口·高三校考期中）函数， (1)求函数在点的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若，请讨论关于x的方程解的个数情况． 5．（2023上·广东揭阳·高三统考期中）给定函数. (1)讨论函数的单调性，并求出的极值； (2)讨论方程解的个数. 题型二：证明唯一零点问题 1．（2023上·广东珠海·高三校考阶段练习）已知函数，为的导数． (1)求曲线在处的切线方程： (2)证明：在区间存在唯一零点； 2．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点． (1)求实数a的值； (2)证明：有唯一零点． 3．（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，． (1)过坐标原点作的切线，求该切线的方程； (2)证明：当时，只有一个实数根． 题型三：根据零点（根）的个数求参数 1．（2023上·北京·高三景山学校校考期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围. 2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围. 3．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的最小值； (2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 4．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有三个根，求的取值范围． 5．（2023下·浙江衢州·高二统考期末）已知函数 (1)若过点作函数的切线有且仅有两条，求的值； (2)若对于任意，直线与曲线都有唯一交点，求实数的取值范围. 三、专项训练 一、单选题 1．（2024上·广东江门·高三统考阶段练习）直线与函数的图象公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023上·河北·高三校联考期末）已知函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·广东阳江·高二校考期中）若函数在上只有一个零点，则常数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023上·江苏常州·高三统考期中）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 5．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为 . 6．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是 ． 三、问答题 7．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）已知