江苏省江阴市第一中学2023-2024学年高三上学期12月阶段测试数学试题

高三上期 数学试题 2023.12 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2、若复数，，则( ) A.5 B. C.25 D. 3、已知一次函数在坐标轴上的截距相等且不为零，其图象经过点，令，，记数列的前n项和为，当时，n的值等于( ) A.19 B.20 C.21 D.22 4、函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 5、已知,,,则x,y,z的大小关系为( ) A. B. C. D. 6、设双曲线的左、右顶点分别为A，B，焦距为2c，两条渐近线的夹角为.设点P的坐标为.若为等腰三角形，则( ) A. B. C. D.2 7、已知定义在R的函数对任意的x满足,当,.函数,若函数在上有6个零点,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8、2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为的正三角形，则该“鞠”的表面积为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9、已知函数对任意，都有，且，则函数的图像( ) A.经过坐标原点 B.与曲线且经过相同的定点 C.关于原点对称 D.关于y轴对称 10、2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则( ) A.该校竞赛成绩的极差为70分 B.a的值为0.005 C.该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分 D.这组数据的第30百分位数为81 11、随着时代与科技的发展,信号处理以各种方式被广泛应用于医学,声学,密码学,计算机科学,量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数,的图象就可以近似的模拟某种信号的波形,则下列说法正确的是( ) A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于点对称 C.函数为周期函数,且最小正周期为 D.函数的导函数的最大值为3 12、已知双曲线的左,右焦点分别为,,过的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若,则( ) A. B.双曲线的离心率 C.双曲线的渐近线方程为 D.原点O在以为圆心,为半径的圆上 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、已知平面向量，，若，则__________. 14、在数列中，，且.若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_________. 15、已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________. 16、已知函数存在唯一零点,则k的取值范围为____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（10分）已知数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）求的前n项和. 18、（12分）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知. （1）证明:; （2）若,,求边长a,c. 19、（12分）如图,在直三棱柱中,,,,点D是线段BC的中点, （1）求证: （2）求D点到平面的距离; 20、（12分）已知F为抛物线的焦点,点M在抛物线C上,O为坐标原点,的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆周长为. （1）求抛物线C的方程; （2）设,B是抛物线C上一点,且,直线AB与直线交于点Q,过点Q作轴的垂线交抛物线C于点N,证明:直线BN恒过一定点,并求出该定点的坐标. 21、（12分）为了精准地找到目标人群,更好地销售新能源汽车,某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查,并作为样本进行统计分析,得到如下列联表: 购买新能源汽车(人数) 购买传统燃油车(人数) 男性 女性 （1）当时,将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因,记这3人中女性的人数为X,求X的分布列与数学期望; （2）定义,其中为列联表中第i行第j列的实际数据,为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则:首先提出零假设(变量X,Y相互独立),然后计