专题06 利用导函数研究能成立（有解）问题(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题06 利用导函数研究能成立（有解）问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：单变量有解问题 2 题型二：双变量不等式有解问题 3 题型三：双变量等式有解问题 5 三、专项训练 6 一、必备秘籍 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 二、典型题型 题型一：单变量有解问题 1．（2023·四川乐山·统考二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 . 【点睛】关键点点睛:用导数求参数的范围问题，将题目转化两个函数的交点问题求解是解题的关键. 4．（2023·云南·校联考三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是 . 5．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得，求实数的最小值． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数解决含参函数单调区间问题，以及不等式能成立问题，难度较难，解答本题的关键在于将不等式问题通过分离参数法，转化为最值问题，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，解决问题. 6．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 题型二：双变量不等式有解问题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川南充·统考三模）已知函数，，，使（为常数）成立，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在，使能成立是其一，其二需要构造函数后分离参数转化为在上能成立，再次构造函数，多次利用导数求其最大值. 3．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数，对于，都，使，则的取值范围为 . 4．（2023下·重庆·高二校联考期中）已知函数，若对任意都存在，使成立，则实数的取值范围是 . 5．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 题型三：双变量等式有解问题 1．（2020·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C．   D． 2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 4．（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的能成立问题的求解，解题关键是能够将能成立的条件转化为两个函数最值之间大小关系的比较问题，从而利用导数、三角函数知识求得两函数的值域，根据最值大小关系构造出不等式组. 5．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围. 三、专项训练 一、单选题 1．（2023下·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·江苏南通·高二统考阶